第二章 §2.2-§2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.2.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 [课标要求] 1.理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长轴长、短轴长．(重点) 2．掌握椭圆的离心率e以及a，b，c的几何意义．(难点) [基础梳理] 1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)、A2(a,0)， B1(0，－b)、B2(0，b) A1(0，－a)、A2(0，a)， B1(－b,0)、B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0＜e＜1) 2.椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响 椭圆的离心率越接近1 ，则椭圆越扁； 椭圆的离心率越接近0 ，则椭圆越接近于圆． [要点探究] 知识点一　椭圆的范围、对称性、顶点 探究1：观察下列图形，回答以下几个问题： (1)已知椭圆方程讨论椭圆性质时，首先要关注椭圆的方程要满足什么形式？ 提示　先看椭圆方程是否是标准形式，若不是标准形式要先化成标准形式． (2)观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ 提示　由≤1，≤1得：－a≤x≤a，－b≤y≤b. (3)如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？[来源:学科网] 提示　a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|. 探究2：观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆，探究下列问题，明确椭圆的几何特征． (1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？ 提示　相同点：两椭圆的长轴长与短轴长分别相等； 不同点：长轴与短轴所在位置不同． (2)椭圆的中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ 提示　椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． 知识点二　椭圆的离心率 探究1：观察图形，思考以下问题，明确椭圆离心率的实际意义． (1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？ 提示　发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同． (2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？ 提示　椭圆的离心率． 探究2：根据椭圆离心率的定义，探究以下问题，认识椭圆离心率对椭圆形状的影响． (1)在a不变的情况下，随c的变化椭圆的形状如何变化的？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？ 提示　①a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁平． ②c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁平． (2)当同时改变a，c的值时椭圆的形状随的变化是如何变化的？ 提示　①的值越大，椭圆越扁平； ②的值越小，椭圆越圆； ③的值不变，椭圆的形状不变. 题型一　由椭圆方程研究几何性质 　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 【自主解答】　椭圆方程可化为＋＝1.∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝ .由e＝得 ＝， ∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为 F1，F2； 四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.[来源:学&科&网] ●规律总结 椭圆中基本量的计算方法 (1)根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，从而准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关性质． (2)在椭圆的诸多基本量中，有些是与焦点所在的坐标轴无关的，如长轴长、短轴长、焦距、离心率，而有些则是与焦点所在的坐标轴有关的，如顶点坐标、焦点坐标等，在计算时应注意确定焦点位置． 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　利用几何性质求椭圆的方程 　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点