第二章 §2.1-§2.1.2 求曲线的方程-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.1.2　求曲线的方程 [课标要求] 1.了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法． 2．掌握求曲线方程的一般步骤，并会按一定步骤求曲线的方程．(重点、难点) 3．掌握求曲线方程的常用方法——直接法、代入法等． [基础梳理] 1．坐标法和解析几何研究的主要问题 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题： ①曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．[来源:学科网ZXXK] (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． [要点探究] 知识点　求曲线的方程 阅读求曲线方程的一般步骤，探究以下问题： 探究1：求曲线方程的第一步是“建立适当的坐标系……”，那么什么是“适当”呢？ 提示　所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次可以选曲线上的特殊点作为原点． 探究2：求曲线方程的第二步一般如何完成？ 提示　这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件上所含的等量关系，它是求曲线方程的关键和难点，完成这一步，往往涉及到平面几何、三角形等方面的知识，要仔细分析曲线的特征，注意揭示其隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出方程． 探究3：阅读下面例题的解法： 　在Rt△ABC中，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程． 【解析】　如图，以AB所在直线为x轴、以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设C(x，y)是平面内任意一点，连接CO，则由直角三角形的性质知：|OC|＝|AB|＝×2a＝a. ∴点C的轨迹方程为＝a， 即x2＋y2＝a2(x≠±a)． (1)在本例中所求的轨迹方程x2＋y2＝a2(x≠±a)中，为何要添加条件“x≠±a”？ 提示　因为当x＝±a时，点C与A或B重合，A、B、C三点不能构成三角形，x＝±a是增解，故要去掉． (2)求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？ 提示　可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个方面进行检验． (3)如果把典例的设问改为“求直角顶点C的轨迹”，应如何作答？ 提示　点C的轨迹是以坐标原点为圆心，以a为半径的圆(除去与x轴的交点)． (4)根据问题(3)，你能说出某点的轨迹与其轨迹方程的区别和联系吗？ 提示　 题型一　直接法求曲线的方程 　(1)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝0，则点P的轨迹方程是________． (2)一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．[来源:Z§xx§k.Com] 【自主解答】　(1)设点P的坐标为(x，y)，由·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得x2＋y2＝4，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4. (2)设动点P的坐标为(x，y)，动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离为|PA|＝，由已知得d＝2|PA|，得 |x－8|＝2，化简得3x2＋4y2＝48， 故动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48. 【答案】　(1)x2＋y2＝4　(2)3x2＋4y2＝48 ●规律总结 直接法求动点轨迹方程的关键及方法 (1)关键：①建立适当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件． (2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明． 1．如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝PN，建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程． [来源:学*科*网Z*X*X*K] 解析　以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示，则O1(－2,0)，O2(2，0)． 由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2. 因为圆的半径为1，所以PO－1＝2(PO－1)． 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33. 故所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33. 题型二　代入法求曲线方程 　(1)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点M的轨迹方程是 A．y＝2x2　　　　　　　B．y＝8x2 C．2y＝8x2－1 D