第二章 §2.1-§2.1.1 曲线与方程-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.1　曲线与方程 §2.1.1　曲线与方程 [课标要求] 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系． 2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点、难点) [基础梳理] 曲线的方程和方程的曲线的概念 前提 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： 条件 ①曲线上点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 结论 这个方程就叫做曲线的方程；这条曲线就叫做方程的曲线. [要点探究] 知识点　曲线的方程和方程的曲线 阅读曲线的方程和方程的曲线的概念，讨论下列问题： 探究1：若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，方程f(x，y)＝0是曲线C的方程吗？ 提示　不是，曲线的方程必须满足定义中的两个条件． 探究2：方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程吗？探究1与探究2说明了什么？ 提示　不是．以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段AB上． 探究1和探究2说明了曲线的方程和方程的曲线的定义的实质是平面曲线上的点集{M|P(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间是一一对应关系，因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合． 探究3：是否所有的曲线都有相应的方程？ 提示　不一定．有的曲线有方程，有的曲线就没有方程，如图．随意画一条曲线，则不能求出方程与之对应． 探究4：怎样判断方程是曲线的方程？ 提示　判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手：一是检验曲线上点的坐标是否都适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上. 题型一　点与曲线的关系及应用 　(1)点P(a＋3,3)在曲线y＝x2－2x上，则a的值是________． (2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是________． 【自主解答】　(1)由点P(a＋3,3)在曲线y＝x2－2x上，得3＝(a＋3)2－2(a＋3)，即a2＋4a＝0，解得a＝0或a＝－4. (2)因为曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，所以(－a)2＝a×(－a)＋2×a＋k，即k＝2a2－2a＝22－，所以k≥－. 【答案】　(1)0或－4　(2)k≥－ ●规律总结 判断点与曲线位置的方法 如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标为(x0，y0)． (1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)＝0. (2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)≠0. 1．下列四个点中，在曲线xy＝1上的是 A．(－1,1)　　　　　　　B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(0,0) 解析　将点(－1，－1)的坐标代入xy＝1，满足方程，故选C. 答案　C 题型二　由方程判断其表示的曲线 　(1)方程(x＋y－1)＝0表示的是 A．两条互相垂直的直线 B．两条射线 C．一条直线和一条射线 D．一个点(2，－1) (2)如图所示，方程y＝表示的曲线是 [来源:学科网] 【自主解答】　(1)因为(x＋y－1)＝0， 所以或x－y－3＝0.[来源:学科网ZXXK] 前者表示射线x＋y－1＝0(x≥2)，后者表示一条直线． (2)方程y＝可化为：y＝ 作出图象如图 【答案】　(1)C　(2)B ●规律总结 1．方程表示的曲线的判断步骤 2．判断方程表示曲线的注意事项 方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想． 2．方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是 解析　原方程等价于＝0或lg(x2＋y2－1)＝0.[来源:学科网ZXXK] 所以x＝1或x2＋y2－1＝1，即x＝1或x2＋y2＝2. 另外，要使方程有意义，必须x－1≥0且x2＋y2>1， 即x≥1，且当x＝1时y≠0，故选D.[来源:学科网ZXXK] 答案　D 易错误区(四)　方程变形中不是恒等变形致误 　方程(x＋y－2)·＝0表示的曲线是 A．一个圆和一条直线　　　B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段 【解析】　(x＋y－2)·＝0变形为：x2＋y2－9＝0或表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2＝9外面的两条射线． 【答案】　C [易错防范] 1．将方程转化变形时漏掉条件x2＋y2－9≥0，忽略了根式应有意义，而错选A. 2．将方程变形时，前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外当方程中含有根式时，要注意根式必须有意义