第一章 §1.6 三角函数模型的简单应用-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.6　三角函数模型的简单应用 [学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.(重点、难点) 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(重点) [教材梳理] 三角函数的应用 1.根据实际问题的图象求出函数解析式. 2.将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 3.利用搜集的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. [要点探究] ►知识点一　三角函数模型在物理学中的应用 【探究】　结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识，哪些可以用三角函数模型解决？ ①单摆；②简谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学. 提示　由于物理学中的单摆，简谐振动，机械波，电磁学等知识都具有周期性，因此可以利用三角函数模型来研究. ►知识点二　三角函数在生活中的应用 【探究】　下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，根据表格探究下列问题： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 5 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 (1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ (2)以时间为横坐标，以水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 提示　(1)发现水深最大值是7.5米，最小值为2.5米，水的深度由5米增加到7.5米，后逐渐减少到2.5米，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少. (2)如图： 由图象知，该图象与三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋k相似，可求得 A＝＝2.5，k＝5，T＝12，ω＝，φ＝0， 所以三角函数解析式为y＝2.5sin＋5. 类型一　三角函数图象与解析式的对应问题 [例1]　(链接教材P60例2)函数y＝sin x2的图象是 [自主解答]　由于函数y＝sin x2是一个偶函数，选项A与选项C的图象都是关于原点对称的，所以不正确；选项B与选项D的图象都是关于y轴对称的，当x＝±时，函数y＝sin x2＜1，选项B显然不正确，当x＝± 时，y＝sin x2＝1，而 ＜，故选D. [答案]　D ◆方法技巧 解决函数解析式与图象的对应问题的思路 函数图象与解析式的对应问题一般是根据图象所反映出的函数性质来解决的，如函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性等，此外零点也可以作为判断的依据. [突破练1] 函数y＝ln(cos x)的大致图象是 解析　显然函数为偶函数，排除B、D， 而当x∈时，cos x∈(0，1)，∴ln(cos x)＜0.故选A. 答案　A 类型二　三角函数模型在物理学中的应用 [例2]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [自主解答]　列表如下， t － 2t＋ 0 π 2π Sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示. (1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2， 所以小球开始振动时的位移是2 cm.[来源:学|科|网Z|X|X|K] (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. ◆方法规律 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. [突破练2] 如图所示为一质点作简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A.该简谐运动的振动周期为0.7 s B.该简谐运动的振幅为5 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 解析　由图象知，振幅为5 cm；＝0.7－0.3＝0.4，故T＝0.8 s，故A错误.该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误，该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故D错误.即选B. 答案　B 类型三　三角函数模型在生活中的应用(重点突破) [例3]　(链接教材P60例1、P62例4)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t).下表是某日各时的浪高数据