第一章 §1.5 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 [学习目标] 1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.(重点、易错点) 2.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相. 3.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质并能应用.(重点、难点) [教材梳理] 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中各参数的物理意义 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 (1)定义域与值域：定义域为R，值域为[－A，A]. (2)周期性：最小正周期T＝. (3)对称性：对称中心为(k∈Z)，对称轴是x＝＋(k∈Z). (4)单调性：单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z). (5)奇偶性：当φ＝kπ，(k∈Z)时，f(x)为奇函数； 当φ＝kπ＋，(k∈Z)时，f(x)为偶函数. [要点探究] ►知识点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数的物理意义 【探究1】　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)中的初相φ是否必须大于零？函数y＝2sin的初相为－对吗？ 提示　初相φ可正、可负，也可为0，根据初相的定义，初相为－是正确的. 【探究2】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期T与其频率f有何关系？ 提示　两者之间存在互为倒数的关系，即f＝. ►知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 【探究】　根据三角函数性质的研究方法，探究函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、对称性、最值的基本方法. 提示　(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数； (2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sin θ的图象求值域. 类型一　由图象求三角函数的解析式(重点突破) [例1]　(链接教材P54例2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________. [自主解答]　解法一　由图可知＝－＝， T＝， ∴ω＝3，∴f(x)＝Acos(3x＋φ). 又是图象上的点， ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z， ∵f＝－，∴Acos＝－， 即Acos＝－， ∴f(0)＝Acos＝－Acos ＝－Acos ＝－Acos＝. 解法二　由图可知＝－＝，T＝，∴f(0)＝f，注意到＝，也即和关于对称，于是f(0)＝f＝－f＝. [答案]　 ◆方法规律 由图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋k的答题模板 第一步：定A，k，借助函数图象的最高点、最低点确定参数A，k的值. 第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期. 第三步：定ω，根据周期公式确定参数ω的值. 第四步：定φ，利用函数图象及五点作图法中的“五点”，建立关于φ的方程，求之即得φ的值. [突破练1] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 A.y＝2sin　　　 B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin[来源:学科网] 解析　由图易知A＝2，因为周期T满足＝－， 所以T＝π，ω＝＝2. 由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝－＋2kπ(k∈Z). 结合各选项可知函数的解析式为y＝2sin. 答案　A 类型二　三角函数图象的对称性 [例2]　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A.x＝－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z) C.x＝－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z) (2)在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________. [自主解答]　(1)函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin＝2sin，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求图象的对称轴为x＝＋(k∈Z). (2)由4x＋＝kπ(k∈Z)， 得x＝－(k∈Z)， 所以函数y＝2sin图象的对称中心坐标为，k∈Z. 取k＝1得为距离原点最近的一个点. [答案]　(1)B　(2) ◆方法技巧 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 [突破练2] (2018·江苏)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值