第一章 §1.1-§1.1.2 弧度制-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.1.2　弧度制 [学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.(重点) 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.(重点、难点) [教材梳理] 1.角的单位制 (1)角度制 规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写. (3)角的弧度数的求法 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝. [提醒]　用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2. 2.角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π_rad 2π rad＝360°[来源:学科网] 180°＝π_rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3.弧度制下的弧长与扇形面积公式 　　公式 度量制　 　 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l＝ S＝ 弧度制 l＝a·r(0＜α＜2π) S＝lr＝αr2(0＜α＜2π) [点拨]　由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r，l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用. [要点探究] ►知识点一　角度制与弧度制的概念 【探究1】　根据圆心角为n°时，所对的弧长为l＝.若n＝30，请完成下表： 半径r r1＝1 r2＝2 r3＝3 r4＝4 弧长l _____ _____ _____ _____ 弧长与半 径的比值 _____ _____ _____ _____ 提示　 半径r r1＝1 r2＝2 r3＝3 r4＝4 弧长l 弧长与半 径的比值 【探究2】　结合上表，思考扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？ 提示　从上表可知，随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关. 【探究3】　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 60° 120° 150° 180° 360° 弧度 π 2π 提示　0　　45°　　90°　　135°　　270° ►知识点二　弧度制下弧长公式、扇形面积公式 【探究1】　结合扇形的弧长和面积公式：l＝|α|·R，S＝lR＝|α|·R2，探求下面的问题： (1)在上述公式中的角α是否可以用角度制表示？ (2)在角度制下扇形的弧长与面积公式是什么？ 提示　(1)不可以，在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式的形式是不同的，在应用时必须选用与角的度量制对应的公式. (2)弧长公式：l＝，面积公式：S＝. 【探究2】　扇形的面积公式有两种形式，这两种公式选择的依据是什么？ 提示　若已知弧长l时，可使用S＝lR，若已知圆心角α时，可使用S＝αR2，无论使用哪种公式，都必须有半径R. 类型一　角度与弧度的互化 [例1]　(链接教材P7例1、例2)把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. [自主解答]　(1)72°＝72×＝. (2)－300°＝－300×＝－. (3)2＝2×°＝°. (4)－＝－°＝－40°. ◆方法技巧 角度与弧度互化问题的注意点 (1)角度与弧度的互化关系为π rad＝180°，则度数×＝弧度数，弧度数×＝度数. (2)将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用 1°＝ rad化为弧度即可. [突破练1] 将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 答案　(1)15 330°　(2)－105°　(3)　(4)－ 类型二　用弧度制表示终边相同的角(重点突破) [例2]　已知角α＝2 005°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角. [自主解答]　(1)2 005°＝2 005× rad＝ rad＝rad， 又π＜＜， ∴角α与终边相同，是第三象限的角. (2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)， 由－5π≤2kπ＋＜0，k∈Z知k＝－1，－2，－3