第一章 §1.1-§1.1.1 任意角-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.1　任意角和弧度制 §1.1.1　任意角 [学习目标] 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义． 2．掌握象限角的概念．(重点) 3．掌握终边相同的角的表示．(重、难点) [教材梳理] 1．任意角的概念 任意角 2.象限角 (1)前提：①角的顶点：坐标原点，②角的始边：x轴的非负半轴． (2)结论：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 3.终边相同的角的表示[来源:学+科+网Z+X+X+K] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. [点拨]　对终边相同角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一. [要点探究] ►知识点一　任意角的概念 回忆初中学过的角的定义再结合角的旋转定义，探究下面问题： 【探究1】　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ 提示　不一定.若角的终边未作旋转，则这个角是零角，若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角. 【探究2】　将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转30°所形成的角，与按顺时针方向旋转30°所形成的角是否相等？ 提示　不相等，度量一个角的大小，既要考虑旋转量，又要考虑旋转方向.故原题中两种旋转方法所形成的角不相等. ►知识点二　象限角 【探究】　根据象限角的定义探究： (1)锐角是第一象限角吗？ (2)第一象限角一定是锐角吗？能否是负角？ 提示　(1)对. (2)第一象限角不一定是锐角，如390°是第一象限；第一象限角也有可能是负角，如－330°. ►知识点三　终边相同的角 【探究1】　根据终边相同的角的概念，探究下列问题： (1)终边相同的角的表达形式唯一吗？ (2)所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？推广到一般与角α终边相同的角如何表示？ 提示　(1)一般地，终边相同的角的表达形式不唯一，可利用图形来验证. (2)所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内的集合可表示为：S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；与角α终边相同的角记为β，构成的集合记为S，则S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 【探究2】　集合A＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}与集合B＝{β|β＝30°＋k·720°，k∈Z}关系如何？ 提示　BA.其中集合A表示所有与30°终边相同的角，而集合B表示部分与30°终边相同的角.如 390°∈A，390°∉B. 类型一　任意角概念辨析 [例1]　下列命题正确的是 A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 [自主解答]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误. [答案]　C ◆方法技巧 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可. [突破练1] 在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于90°的角都是锐角. 其中错误说法的序号为________. 解析　①0°～90°的角是指0°≤α＜90°，0°角不属于任何象限，所以①不正确. ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确. ③钝角的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确. ④锐角的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确. 答案　①②④ 类型二　象限角的判定 [例2]　(链接教材P4例1)(1)给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角.其中正确的个数为 A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 (2)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在 A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 [自主解答]　(1)①－15°在第四象限； ②180°＜185°＜270°在第三象限； ③475°＝360°＋115°，而90°＜115°＜180°，所以475