第三章 §3.2 简单的三角恒等变换-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§3.2　简单的三角恒等变换 [学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.(难点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的方法.(重点) 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.(重点) [教材梳理] 半角公式 [点拨]　(1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值. (2)对于S和C，α∈R，但是使用T时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z). [要点探究] ►知识点一　半角公式 【探究1】　如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？ 提示　根据倍角公式，cos2＝，sin2＝，tan2＝. 【探究2】　如何用tan表示α的三角函数？ 提示　sin α＝2sincos ＝＝； cos α＝cos2－sin2 ＝＝； tan α＝. 由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值，因此以上公式称为万能公式. 万能公式的好处在于把三角函数式转化为用tan表示的式子，设tan＝t，则三角函数式可转化为关于t的有理代数式.[来源:Z+xx+k.Com] ►知识点二　三角恒等变换 【探究1】　三角函数求值、化简和三角恒等式的证明，基本思想是“变换”，在三角函数问题中变换的基本方向有哪些？ 提示　两个基本方向：变换函数名称与变换角的形式.变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式对角进行代数形式的变换等. 【探究2】　三角变换中常用的变换技巧有哪些？ 提示　(1)切化弦，即把题中的切函数利用tan α＝转化为弦函数； (2)升降幂，利用倍角公式及其变形公式升幂或降幂； (3)角变换，如α＝(α＋β)－β，α＝[(α＋β)＋(α－β)]等； (4)变式，即式子的结构形式的变换，主要有以下5种：a：常值代换；b：变用公式；c：升幂、降幂公式；d：配方与平方；e：辅助角公式等. 类型一　三角恒等变换(重点突破) 命题点1　三角函数函数式的化简 [例1-1]　化简：. [自主解答]　方法一　 原式＝ ＝(复角化单角，进一步切化弦) ＝ ＝1(使用平方差公式). 方法二　原式＝(利用－α与＋α的互余关系)＝ ＝(逆用二倍角的正弦公式)＝＝1. ◆方法技巧 化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 命题点2　三角恒等式的证明 [例1-2]　(链接教材P140例2)求证：＝tan＋. [自主解答]　∵左边＝ ＝ ＝＝＝tan＋＝右边， ∴原等式成立. ◆方法技巧 两类常见的恒等式证明问题 (1)不附加条件的恒等式证明. 通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡. (2)条件恒等式的证明. 这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.[来源:Zxxk.Com] [突破练1] 已知sin(2α＋β)＝5sin β， 求证：2tan(α＋β)＝3tan α. 证明　由条件得sin[(α＋β)＋α] ＝5sin[(α＋β)－α]， 两边分别展开得 sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α. 整理得： 4sin(α＋β)cos α＝6cos(α＋β)sin α. 两边同除以2cos(α＋β)cos α得：[来源:学。科。网] 2tan(α＋β)＝3tan α. 类型二　三角恒等变换的综合应用(重点突破) 命题点1　三角函数性质与恒等变换的综合 [例2-1]　(链接教材P140例3) (2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值． [自主解答]　(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋. 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin＋. 故当2x－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值1＋＝. 若f(x)在区间上的最大值为， 则存在k∈Z使∈， 即－≤kπ≤m－.又因为m＞， ∴当k＝0时，m有最小值，此时mmin＝. ◆方法规律 应用恒等变换研究三角函数性质的步骤 ↓ ↓ 命题点2　三角变