第二章 §2.2-§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.2.3　向量数乘运算及其几何意义 [学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.(重点) 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.(重点) 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.(难点) [教材梳理] 1.向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反. (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb. [点拨]　(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算. (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2.向量共线的条件 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. [提醒]　(1)定理中a是非零向量. (2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数. 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. [要点探究] ►知识点一　向量数乘的概念及运算 【探究1】　所得向量λa的几何意义是什么？ 提示　是把向量a沿a的方向放大(λ＞1)或缩小(0＜λ＜1)到原来的λ倍或沿a的相反方向放大(λ＜－1)或缩小(－1＜λ＜0)到原来的|λ|倍. 【探究2】　向量的大小与方向如何？ 提示　向量的大小为1，方向与a的方向相同，所以该向量也是向量a方向上的单位向量. ►知识点二　向量共线定理 【探究】　根据共线向量定理，探究下面的问题： (1)若向量a与向量b(b≠0)共线，则a＝λb，如何确定λ的值？ (2)定理中为何要限制a≠0? 提示　(1)当a，b同向时，λ＝，当a，b反向时，λ＝－. (2)共线向量定理中，若不限制a≠0，则当a＝b＝0时，λ的值不唯一，定理不成立.并且当b≠0，a＝0时，λ的值不存在. 类型一　向量的线性运算 [例1]　(链接教材P88例5)(1)化简：的结果是 A.2a－b　　　　　　　 B.2b－a C.b－a D.a－b (2)已知▱ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设＝a，＝b，则向量等于 A.2a＋b B.－a－b C.b－2a D.－b－2a [自主解答]　(1)原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a，故选B. (2)＝＋＝－＋3＝a－b－3a＝－b－2a，故选D. [答案]　(1)B　(2)D ◆方法技巧 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. [突破练1] 化简：8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c). 解析　原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a－(8－12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b. 答案　6a＋4b 类型二　向量共线定理的应用 [例2]　(链接教材P89例6)(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线. (2)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，证明：四边形EFGH为平行四边形. [自主解答]　(1)证明　∵＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2. 又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴＝2，∴∥. ∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线. (2) 证明 连接BD，则＝－＝－＝(－)＝. 同理＝，∴＝， 即EH∥FG且EH＝FG， 故四边形EFGH为平行四边形. ◆方法技巧 向量共线定理的两个应用 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法. [