第二章 §2.2-§2.2.1 向量加法运算及其几何意义-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.2　平面向量的线性运算 §2.2.1　向量加法运算及其几何意义 [学习目标] 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练运用这两个法则作 两个向量的加法运算.(重点、难点) 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算 律的合理性.(难点) [教材梳理] 1.向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算.叫做向量的加法. (2)运算法则： 图示 几何意义 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O，A，B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线上的向量＝a＋b (3)规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.[来源:学科网] 2.向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). [要点探究] ►知识点一　向量加法的法则 【探究1】　向量加法的三角形法则与平行四边形法则的区别是什么？ 提示　(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”； (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 【探究2】　若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则以a，b，a＋b的模为边所构成的三角形是________. 提示　结合向量加法的几何意义知，是等边三角形. 答案　等边三角形 【探究3】　两向量a，b满足什么条件时， (1)|a＋b|＝|a|＋|b|. (2)|a＋b|＝|a|－|b|(或者|b|－|a|). 提示　(1)两向量方向相同时； (2)两向量方向相反时. ►知识点二　向量加法的运算律 【探究】　观察向量加法运算的交换律与结合律，回答下列问题： (1)向量的加法交换律以及结合律是否只对两个和三个的向量成立？ (2)交换律与结合律的作用是什么？ 提示　(1)不是，向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立. (2)交换律与结合律的作用是对向量的加法进行化简. 类型一　向量加法法则的应用(重点突破) [例1]　(链接教材P81例1)(1)如图①所示，求作向量和a＋b；[来源:Zxxk.Com] (2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c. [自主解答]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b. 如图所示， (2)方法一　 (三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求. 方法二　 (平行四边形法则)：如图所示， 首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求. ◆方法规律 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合. (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单. [突破练1] 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. (1)＋＝________；(2)＋＝________； (3)＋＝________. 解析　(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. (2)因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝. (3)因为＝，故＋＝＋＝0.[来源:Zxxk.Com] 答案　(1)　(2)　(3)0 类型二　向量加法运算律的应用 [例2]　(1)在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是 A.＝，＝　　　B.＋＝ C.＋＝＋ D.＋＋＝ (2)化简下列各式： ①(＋)＋(＋)＝________. ②＋＋＋＋＝________. [自主解答]　(1)因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋. (2)①(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋0＝. ②＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. [答案]　(1)C　(2)①　②0 ◆方法技巧 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. [突破练2] 设a＝(＋)＋(＋)，b是任意一非零