第二章 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.1　平面向量的实际背景及基本概念 [学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.(重点、难点) 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.(重点) 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.(易错点) [教材梳理] 1.向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量. (2)向量的表示： 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如，… 字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头 2.向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义：向量的大小. (2)向量的长度表示：向量，a的长度分别记作：||，|a|. (3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量；②长度等于1个单位的向量为单位向量. [点拨]　定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向.我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. 3.向量的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，用有向线段表示的向量a与b相等，记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行. [点拨]　共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同. [要点探究] ►知识点一　向量的有关概念 根据向量的概念探究下面的问题： 【探究1】　向量与数量一样吗？ 提示　不一样.数量只有大小，没有方向，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量既有大小又有方向，不能比较大小. 【探究2】　向量与有向线段有哪些区别？ 提示　从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的. ►知识点二　向量间的关系 【探究1】　根据平行向量的概念，思考下列问题： (1)若非零向量∥，那AB∥CD吗？ (2)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反吗？ 提示　(1)不一定，AB与CD可能平行，也可能重合. (2)当a和b都不为零向量时，若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反；当a，b中至少有一个是零向量时，该说法则不成立. 【探究2】　两个向量相等，则这两个向量的起点和终点一定相同吗？ 提示　两个向量相等，则只需方向相同，大小相等即可，与起点和终点没有关系. 类型一　向量的有关概念 [例1]　已知下列命题. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②如果向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线； ③如果a∥b，b∥c，那么a∥c； ④两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小. 其中正确的命题为 A.①③④　　　　　　 B.③④ C.④ D.②③ [自主解答]　对于①，向量是矢量，用有向线段表示，但有向线段本身不是向量，所以①错误；对于②，当向量与向量共线时，A，B，C，D四点不一定共线，所以②错误；对于③，当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a∥c不一定成立，所以③错误；对于④，向量是矢量，两个向量不能比较大小，它们的模能比较大小，所以④正确.综上，正确命题的序号是④.故选C. [答案]　C ◆误区警示 向量概念理解的误区 (1)求解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向. (2)求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等. [突破练1] 下列说法错误的有________.(填上你认为所有符合的序号) ①两个单位向量不可能平行； ②两个非零向量平行，则它们所在直线平行； ③当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b. 解析　①错误，单位向量也可能平行； ②错误，两个非零向量平行，它们所在直线还可能重合； ③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小. 答案　①②③ 类型二　相等向量与共线向量 [例2]　(链接教材P76例2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ [自主解答]　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. [母题变式1] 例2中＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量. 解析　与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. [母题变式2] 例2条件不变，与共线的向量有哪些？ 解析　与共线的向量有，，，，，，，，. ◆方法技巧 相等向量与共线向