专题06 立体几何中的图形变换-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

立体几何中的图形变换 立体几何的研究对象是空间几何体，它是平面图形的延伸和拓展。在研究空间几何问题时，经常要进行一些图形变换，如展开、折叠、割补、还原等变换。现结合实例说明如下： 1.折叠 将平面图形按照一定的要求进行折叠，得到空间几何体，进而研究几何体的性质或计算是一种常见的题型。解决这类问题的关键是要分清折叠前后的位置关系和数量关系的变与不变。 例1.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得，则三棱锥D-ABC的体积为（ ） A. B. C. D. 变式. 已知为等腰直角三角形，斜边上的中线，将沿折成的二面角，连结，则三棱锥的体积为__________. 2.展开 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本的、常用的方法。将空间图形展开成平面图形后，弄清几何体中有关点线在展开图中的相应的位置关系是解题的关键。 例2. 圆锥的底面半径为r,母线长为6r,M是底面圆周上一点，从M拉一根绳子，环绕圆锥的侧面再回到M,最短绳长为（ ） A.4r B.5r C.6r D.3r 变式．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB>1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2. (1)求AB的长度.(2)求该长方体外接球的表面积. 3．割补 一个不规则的几何体，通过“割”或“补”的方法，使其变为规则的基本的几何体，这种解题方法叫割补法。 例3.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，⊿ADE、⊿BCF均为正三角形，EF∥AB, ,则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 变式. 在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是(　　) A. B. C. D. 4.还原 例4.设棱台的上、下底面及平行于底面的截面面积分别为、、，求证：棱台的高被截面自上而下分成的两段的比是. 变式．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM∥平面DE； ②CN∥平面AF； ③平面BDM∥平面AFN； ④平面BDE∥平面NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 小试牛刀 1．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 2.三棱柱D的体积为V,P、Q分别为上的点,且满足,则四棱锥的体积是( ) A. B. C. D. 3.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是________． 4．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________． 5.某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是_____m3. 6.如图，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线l＝4，M为母线SA上的一个点， 且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A点．求 (1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 立体几何中的图形变换 立体几何的研究对象是空间几何体，它是平面图形的延伸和拓展。在研究空间几何问题时，经常要进行一些图形变换，如展开、折叠、割补、还原等变换。现结合实例说明如下： 1.折叠 将平面图形按照一定的要求进行折叠，得到空间几何体，进而研究几何体的性质或计算是一种常见的题型。解决这类问题的关键是要分清折叠前后的位置关系和数量关系的变与不变。 例1.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得，则三棱锥D-ABC的体积为（ ） A. B. C. D. 解析：先做出图形，如图所示。线段DE和BE在折叠前后的长度不变，都为，又 ，故由勾股定理可知.折叠前与AC垂直的线段BD虽被折成两段，但每段与AC的垂直关系并未改变，即.易知DE为三棱