专题05 求立体几何中三种角的方法-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导

求立体几何中的三种角的方法 立体几何中的计算题，大多为关于角的计算，角主要有三种：异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角。对它们的计算都可分为三步:一做、二证、三求。一做是做图，做出等于所求角的平面中的角；二证是证明所做出的角等于所求角；三求是将所做出的角放在三角形中，解三角形求出角的大小。现分述如下： 一、异面直线所成的角 1. 一做。由异面直线所成的角的定义做出等于所求角的平面中的角，做平行线时常用到平行四边形、三角形中位线等平面几何的知识。 2.二证。证明直线互相平行，所做出的角的大小即为所求角的大小。 3.三求。将所做出的角放在三角形中，直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理等求出角的大小。 例1. 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，求异面直线与所成的角。 变式. 正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是(　　) A．60° B．45° C．30° D．90° 二、直线与平面所成的角 1.一做。过斜线上一点做平面的垂线，再连接垂足和斜足，垂足和斜足的连线为斜线在该平面内的射影，射影与斜线的夹角为斜线与平面所成的角。 2.二证。证明直线与平面垂直。 3.三求。将斜线与其在该平面内的射影所成的角放在三角形中求出。 例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的正切． 变式. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 三、二面角 1.一做。过二面角棱上一点在两个半平面内分别做棱的垂线，该两条射线所成的角为二面角的平面角，它的大小即为二面角的大小。 2.二证。证明两条射线与棱垂直。 3.三求。将平面角放在三角形中求出。 例3. 在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，求二面角的余弦值。 变式. 正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于(　　) A． B． C． D． 小试牛刀 1．在正方体中，与所在直线所成角的大小是（） A． B． C． D． 2．已知四面体中，分别是的中点，若，，，则与所成角的度数为（） A． B． C． D． 3．直三棱柱中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA＝AC＝a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D.. 6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________. 7．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P－AB－C的大小为________. 8．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a. 求(1)二面角A－PD－C的度数．(2)二面角B－PA－D的度数．(3)二面角B－PA－C的度数．(4)二面角B－PC－D的度数． 9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． (1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC； (3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 求立体几何中的三种角的方法 立体几何中的计算题，大多为关于角的计算，角主要有三种：异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角。对它们的计算都可分为三步:一做、二证、三求。一做是做