3.1.3 可线性化的回归分析-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

1．3　可线性化的回归分析 ●趣味导入 混凝土的抗压强度X较易测定，其抗剪强度Y不易测定．工程中希望由X估算出Y，以便应用．现测得一批对应数据如下： X 141 152 168 182 195 204 223 254 277 Y 23.1 25.3 27.9 29.8[来源:学科网] 31.1 31.8 32.5 34.8 35.2 其中X——抗压强度，Y——抗剪强度． 问：如何求出X与Y的关系式？ ●学案导引 知识点 非线性回归方程 了解 1.在具体问题中，我们首先应该作出原始数据(xi，yi)的散点图，从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合． 2．对于非线性回归模型一般可转化为线性函数，从而得到相应的回归方程． 3．几种常见模型 (1)幂函数曲线y＝axb，其散点图在形如下列曲线附近： 设u＝ln y，v＝ln_x，c＝ln_a，则转化为线性关系：u＝c＋bv. (2)指数曲线y＝aebx，其散点图在形如下列曲线附近： 设u＝ln_y，c＝ln_a，则转化为线性关系：u＝c＋bx. (3)倒指数曲线y＝ae，其散点图在如下曲线附近： 设u＝ln_y，c＝ln_a，v＝，则转化为线性关系：u＝c＋bv. (4)对数曲线y＝a＋bln x，其散点图在如下曲线附近： 设v＝ln_x，则转化为线性关系：y＝a＋bv. ●思考探究 如果原始数据的散点图近似一个指数函数的图像，如何进行回归分析？ 提示　可以考虑用函数y＝aebx来拟合数据的变化关系．首先将其转化成线性函数．对y＝aebx两边取对数，得ln y＝ln a＋bx.作变换u＝ln y，c＝ln a，则上式变为u＝c＋bx，然后对原始数据作转换，转换成(x1，u1)，(x2，u2)，…，(xn，un)，接着用最小二乘法计算出b，c，得到线性回归方程，最后再把线性回归方程转回到y＝aebx的形式，即y＝eu＝ec＋bx. 类型一　判断两变量是否线性相关 [例1]　下列是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上表中的数据制成散点图，并计算相关系数r； (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？该结论与相关系数r的计算一致吗？ [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息： ①表中数据是水稻产量与施化肥量的观测数据； ②根据表中数据可得出散点图及相关系数r的值，从而初步判断两变量的相关性，并近似解决施化肥量与水稻产量之间的数量关系． [自主解答]　(1)散点图如下： 列表： i xi yi x y xiyi 1 15 320 225 102 400 4 800 2 20 330 400 108 900 6 600 3 25 360 625 129 600 9 000 4 30 410 900 168 100 12 300 5 35 460 1 225 211 600 16 100 6 40[来源:学科网] 470 1 600 220 900 18 800 7 45 480 2 025 230 400 21 600 210 2 830 7 000 1 171 900 89 200 ＝30，＝404.285 7 r＝ ≈0.975. (2)从散点图发现施化肥量与水稻产量近似成线性关系，与相关系数r计算一致． [方法探究] 判断变量的相关性通常有两种方式：一是散点图，二是相关系数r.前者只能粗略的说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱． ●变式训练 1．下表表示的是某地降雨量与平均气温，判断两者具有线性相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？ 年平均气温/℃ 12.51 12.84 12.85 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量/mm 748 542 507 813 574 701 432 解析　以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量可得相应的散点图，如图所示．因为图中各点并不在一条直线附近，则两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，求回归直线方程没有意义． 类型二　可线性化的回归分析 [例2]　我国1950～1959年人口数据资料为： 年份 1950 1951 1952 1953 1954 t 0 1 2 3 4 人口y/万 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 年份 1955 19