第2章 6 正态分布-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§6　正态分布 ●趣味导入 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响较大的是“正态分布”． 那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？ ●学案导引 知识点一 正态曲线与正态分布 理解 正态分布：正态分布是现实中最常见的分布，它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ＞0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．正态分布的分布密度函数为：f(x)＝exp，－∞＜x＜∞，其中exp{g(x)}＝eg(x)． ●思考探究 1．正态分布如何表示？ 提示　正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 2．参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？ 提示　μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． 知识点二 正态曲线的性质 了解 正态分布密度函数的性质： (1)函数图像关于直线x＝μ对称． (2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． (3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%. ●思考探究 1．正态曲线f(x)，当μ一定时，正态曲线有什么特点？ 提示　曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 2．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－a＜X<μ＋a)的几何意义是什么？ 提示　表示X取值的概率和正态曲线与x＝μ－a，x＝μ＋a以及x轴所围成的图形的面积相等．[来源:学科网ZXXK] 3．若X～N(0,100)，Y～N(0,81)，你能比较P(X＞1)与P(Y＞1)的大小吗？ 提示　因为100＞81，所以X对应的正态曲线“矮胖”，Y对应的正态曲线“瘦高”，并且两曲线的对称轴相同，故P(X＞1)＞P(Y＞1)． 类型一　正态曲线及其性质 [例1]　若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为. (1)求该正态分布密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． [思路点拨]　(1)根据对称轴和最大值确定μ和σ. (2)根据P(μ－σ＜X≤μ＋σ)求解． [自主解答]　(1)由于该正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0，由＝，得σ＝4. 故该正态分布密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)． (2)P(－4＜X≤4)＝P(0－4＜X≤0＋4)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683. [方法探究] (1)正态分布N(μ，σ2)中，μ值决定正态曲线的左右位置，σ值决定正态曲线的“高矮”． (2)解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数的解析式中参数的取值变化对曲线的影响． ●变式训练 1．正态总体当μ＝0，σ＝1时的分布密度函数是f(x)＝e－，x∈R. (1)证明：f(x)是偶函数； (2)求f(x)的最大值； (3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性． 解析　(1)对于任意的x∈R， f(－x)＝e－＝e－＝f(x)． 所以f(x)是偶函数． (2)令z＝－. 当x＝0时，z＝0，ez＝1； 当x≠0时，z＜0，ez＜1. 综上知x＝0(即z＝0)时，e－＝ez取得最大值，所以当x＝0时，f(x)＝e－取得最大值 . (3)任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2，有＞. 所以e＞e， 所以e－＜e－， 即f(x1)＜f(x2)． 它表明当x＜0时，f(x)是递增的． 同理可得，对于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2)，即当x＞0时，f(x)是递减的． 类型二　正态分布的概率计算 [例2]　(1)设随机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2＜X＜4)＝ A.＋p　　　　　B．1－p C．1－2p　　　　　D.－p (2)设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)． [思路导引]　(1)利用正态分布的图像特点计算，注意应用对称性． (2)由X～N(5,1)知μ＝5，σ＝1，故P(4＜X≤6)＝0.683，P(3＜X≤7)＝0.954.由对称性知P(3＜X≤4)＝P(6＜X≤7)，由此可求P(6＜X≤7)． [自主解答]　(1)由X～N(3,1)得μ＝3，所以P(3＜X＜4)＝－p，即P(2＜X＜4)＝2P(3＜X＜4)＝1－2p，故选C. (2)由已知得P(4＜X≤6)＝0.683， P(3＜X≤7)＝0.954， 所以P(3＜X≤4)＋P(6＜X≤7)＝0.954－0.683＝0.271， 由对称性得P(3＜X≤4)＝P(6＜X≤7)，