第2章 5 一 离散型随机变量的均值-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§5　离散型随机变量的均值与方差 一　离散型随机变量的均值 ●趣味导入 某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1，这种书每本的进价为6元，销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书时每本为5元． 问：试用盈利决定书店应订购多少本新书？ ●学案导引 知识点一 离散型随机变量的均值 理解 若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xr P p1 p2 … pi … pr 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xrpr为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． ●思考探究 1．随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系． 提示　离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定值，即由独立观测值组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值，或者说随样本容量的增加而趋于该随机变量的均值． 2．一个学生在单元测验中的均值是90分(满分100分)的含义是什么？他在这次单元测验的成绩一定会是90分吗？ 提示　这个学生在这次单元测试中的成绩当然不一定会是90分，他的成绩是一个随机变量，可能取值为0,1,2，…，99,100.这个随机变量的均值为90分，其含义是在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分． 知识点二 均值的性质及常见分布的均值 掌握 1.离散型随机变量的性质 如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.EY＝E(ax＋b)＝aEx＋b. 2．两点分布与二项分布的均值 X X～B(n，p) X服从两点分布 EX np p(p为成功概率) ●思考探究 1．若c为常数，则E(c)为何值？ 提示　E(c)＝c. 2．若X，Y均为离散型随机变量，则E(X＋Y)与EX和EY间有什么关系？ 提示　E(X＋Y)＝EX＋EY. 类型一　求离散型随机变量的均值 [例1]　(1)有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于 A.　　　　　　B. C.　　　　　D．1 (2)已知离散型随机变量X的分布列： X －2 －1 0[来源:Zxxk.Com] 1 2[来源:学科网] P m 求E(X)． [思路导引]　(1)可分析出随机变量X的取值，再计算出各取值的概率，最后利用均值公式计算求解． (2)可依据分布列的性质，求出m值，再利用均值公式计算均值． [自主解答]　(1)X的可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴EX＝1×＋2×＝. (2)由分布列的性质，得 ＋＋＋m＋＝1，解得m＝， ∴EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. [答案]　(1)A　(2)见解析 [方法探究] 1．求离散型随机变量均值的步骤 (1)写出X可能取得的全部取值． (2)求X取每个值的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值的定义求出E(X)． 2．求随机变量均值的两种方法 一是先求概率分布列，再利用均值公式求出； 二是利用均值的性质求解． ●变式训练 1．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出1个白球得2分，取出1个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和． (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望EX. 解析　(1)由题意得X取3,4,5,6， 且P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝，∴X的分布列为： X 3 4 5 6 P (2)由(1)知EX＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝. 类型二　均值性质的应用 [例2]　在10件产品中，有3件一等品、4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望． [思路导引] [自主解答]　从10件产品中任取3件共有C种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，其中k＝0,1,2,3. ∴P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. ∴随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [方法探究] (1)该类题目属于已知离散型分布列求期望，求解方法直接套用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xrpr求解． (2)对于aX＋b型