第2章 5 二 离散型随机变量的方差-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

二　离散型随机变量的方差 ●趣味导入 甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分别如下表所示： X1 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 问：从均值看，EX1，EX2都是0.7，那么，如何比较甲、乙两名工人的技术？ ●学案导引 知识点一 离散型随机变量的方差 理解 随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，我们用E(X－EX)2来衡量X与EX的平均偏离程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.方差越小，随机变量的取值越集中在其均值周围；方差越大，随机变量的取值就越分散．由方差的定义知DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn. ●思考探究 1．随机变量的方差与样本的方差的关系． 提示　随机变量的方差是一个常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本方差是随机变量．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体方差． 2．研究均值与方差有怎样的意义？ 提示　随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数(或数字特征)，是对随机变量的一种简明的描写．虽然随机变量的分布列和分布函数完全决定了随机变量的取值规律，但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与离散程度等．均值表示随机变量一切可能值的平均值或集中位置，而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动的程度，由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概率分布出发，因而均值是随机变量的概率平均值． 知识点二 方差的性质及常见结论 掌握 1.若ξ＝aX＋b(a，b为常数)，则E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0. 2．若X～B(n，p)，则DX＝npq(q＝1－p)． ●思考探究 　你能证明D(aX＋b)＝a2DX吗？ 提示　因为E(aX＋b)＝aEX＋b， 所以D(aX＋b)＝(axi＋b－aEX－b)2pi ＝(axi－aEX)2pi＝a2(xi－EX)2pi＝a2DX. 类型一　求离散型随机变量的方差 [例1]　编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是X，求EX和DX. [思路点拨]　 [自主解答]　X的所有可能取值是0,1,3， X＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生， 则P(X＝0)＝＝； X＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(X＝1)＝＝； X＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P(X＝3)＝＝. 所以，X的分布列为： X 0 1 3 P EX＝0×＋1×＋3×＝1； DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. [方法探究] 求随机变量X的方差的步骤 (1)确定随机变量X的所有可能的取值； (2)求X取每个值对应的概率； (3)写出X的分布列； (4)利用均值的定义求EX； (5)利用方差的定义求DX. 其中准确求出X的分布列是解题的关键． ●变式训练 1．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求： 工期延误天数Y的均值与方差． 解析　由已知条件和概率的加法公式有： P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列为： Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. 类型二　方差在实际问题中的应用 [例2]　(1)有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(