第2章 4 二项分布-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§4　二项分布 ●趣味导入 在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环赛，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．如果你是甲班的一名同学． 问：你认为采用哪种赛制对你班更有利？ ●学案导引 知识点一 独立重复试验 理解 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． ●思考探究 1．独立重复试验必须满足什么条件？ 提示　(1)每次试验在同样条件下进行； (2)各次试验的条件是相互独立的； (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如何理解独立重复试验与独立事件间的关系？ 提示　(1)两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．由此可见，两者的唯一联系是独立重复试验各次试验之间是相互独立的，每次试验的结果看作一个事件，那么这些事件是相互独立的． (2)独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．[来源:Zxxk.Com] 知识点二 二项分布 掌握 二项分布：如果n次试验满足如下条件： (1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p； (3)各次试验是相互独立的． 用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)． 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)． ●思考探究 1．如何判断一个随机变量是否服从二项分布？ 提示　关键有两点：其一看这个试验是否为n次独立重复试验．其二随机变量是这n次独立重复试验中事件A发生的次数． 2．二项分布与两点分布有何关系？ 提示　(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，……，n次． (2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布． 类型一　求独立重复试验的概率 [例1]　(1)将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值为 A．0　　　　　B．1 C．2　　　　　D．3 (2)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是 A.　　　　　B. C.　　　　　D. [思路导引]　(1)先分析该试验是否符合独立重复试验的条件，然后再套用公式求解． (2)质点P移动5次，可理解为5次独立重复试验． [自主解答]　(1)由Ck5－k ＝Ck＋15－k－1， 得C＝C，即k＋(k＋1)＝5，∴k＝2. (2)依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C·2·3＝. [答案]　(1)C　(2)D [方法探究] 独立重复试验求概率的三个关注点 (1)判断问题中所涉及的试验是否为独立重复试验，即条件相同，要么A发生，要么A不发生； (2)关注概率公式：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k就是[(1－p)＋p]n展开式中的第k＋1项； (3)关注“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义． ●变式训练 1．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲连续射击4次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． 解析　(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于进行4次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－4＝. 答：甲连续射击4次，至少有1次未击中目标的概率为. (2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则 P(A2)＝C×2×4－2＝， P(B2)＝C×3×4－3＝