第2章 2 超几何分布-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§2　超几何分布 ●趣味导入 在生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． 问：若以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，如何求ξ的分布列？ ●学案导引 知识点 超几何分布 掌握 1.超几何分布 (1)超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的个数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)，称变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． (2)在超几何分布中，若n≤M，则k＝0,1,2，…，n；若n＞M，则k＝0,1,2，…，M. 2．超几何分布列 (1)若变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则称分布列为超几何分布列，其中n≤N，M≤N，m＝min{M，n}且n，M，N∈N＋. X 0 1 … m P … 反之，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布． (2)在超几何分布列中，随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则P(X＝0)＋P(X＝1)＋…＋P(X＝m)＝1，其中，m＝min{M，n}． [特别提醒]　确认变量服从超几何分布后，可直接应用公式求出概率． ●思考探究 1．如何推导P(X＝k)＝？ 提示　由于事件(X＝k)表示从含有M件次品的N件产品中，任取n件其中恰有k件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N件产品中任取n件，由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有C个基本事件；而其中恰有k件次品，则必有(n－k)件正品，因此事件(X＝k)中含有CC个基本事件，由古典概型的概率公式可知P(X＝k)＝. 2．在超几何分布中，P(X＝k)＝，那么k的取值范围如何？n，M，N的大小关系如何？ 提示　k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 类型一　超几何分布的分布列 [例1]　设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．[来源:学科网][来源:学&科&网Z&X&X&K] [思路点拨]　在取出的5件产品中，次品数ξ是一个随机变量，其可能取值为0,1,2,3，对应的正品数应是5,4,3,2，是一个超几何分布问题． [自主解答]　ξ的可能取值为0,1,2,3. ξ＝0，表示取出的5件产品全是正品． P(ξ＝0)＝＝＝； ξ＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品． P(ξ＝1)＝＝＝； ξ＝2，表示取出的5件产品中2件次品，3件正品． P(ξ＝2)＝＝＝； ξ＝3，表示取出的5件产品中3件次品，2件正品． P(ξ＝3)＝＝＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P [方法探究] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型解决；如果不满足则应借助相应概率公式求解． ●变式训练 1．从一批含有13件正品和2件次品的产品中任取3件，求取得次品数X的分布列． 解析　设随机变量X表示取出次品的件数，则X服从参数为N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布，它的可能取值为0,1,2，相应的概率依次为： P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 类型二　求服从超几何分布的变量的概率 [例2]　在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． [思路点拨]　摸到的红球个数X服从超几何分布，根据超几何分布的公式即可计算出中奖的概率． [自主解答]　根据题意，摸到的红球个数X为随机变量，且X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4,5，则可得至少摸到3个红球的概率为： P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝＋＋≈0.191 2. 故中奖的概率约为0.191 2. [方法探究] 要注意中奖的概率是指X＝3，X＝4和X＝5的概率和，不要只计算X＝3的概率． ●变式训练 2．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少抽到3张A的概率． 解析　因为一副扑克牌中有4张A，则取到扑克牌A的张数X服从参数为N＝52，M＝4，n＝5的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少抽到3张A的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋≈0.001 8. 即至少抽到三张A的概率约为0.001 8. 类型