第1章 5．1 二项式定理-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§5　二项式定理 5．1　二项式定理 ●趣味导入 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去． 那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ ●学案导引 知识点 二项式定理 掌握 1.二项式定理：对n∈N＋，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋C·an－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn.等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，展开式的第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr，又称为二项式通项．其中C(r＝0,1,2，…，n)叫作二项式系数．特别地，(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn(n∈N＋)． 2．Tr＋1＝Can－rbr的理解 (1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定． (2)公式表示的是第r＋1项，而不是第r项． (3)公式中a，b的位置不能颠倒，它们的指数和为n. ●思考探究[来源:学科网] 1．二项式定理中，等号左侧(a＋b)n中的a与b能交换吗？ 提示　不能．因为(a＋b)n的通项Can－rbr与(b＋a)n的通项Cbn－rar是不同的，故不能随便交换a与b. 2．在二项展开式中，二项式系数与项的系数是否是同一概念？ 提示　二项式系数与项的系数不同，如对(a＋bx)n(a，b是常数)的展开式，第r＋1项的二项式系数为C，它是一个正数，而第r＋1项的系数为Can－rbr，其值可正可负． 类型一　二项式定理的正用和逆用 [例1]　(1)4的展开式为________； (2)设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P＝________. [思路导引]　(1)直接利用二项式定理将其展开，也可将其变为4＝4(x＋1)4展开． (2)由所给式子形式特点考虑逆用二项式定理． [自主解答]　(1)解法一　4＝1＋C＋C2＋C3＋4 ＝1＋＋＋＋. 解法二　4＝4(x＋1)4 ＝4[x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋1] ＝1＋＋＋＋. (2)P＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5. [答案]　(1)1＋＋＋＋　(2)(x＋2)5 [方法探究] 二项式定理正用、逆用的技巧[来源:学科网ZXXK] (1)形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据 二项式的结构特点，进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提． (2)逆用二项式定理，要注意分析其结构特点，a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，且a，b的指数和等于二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式．指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通常需添加项来凑结构形式． ●变式训练 1．化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解析　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1·(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋C·(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 类型二　求二项展开式中的特定项 [例2]　已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [思路点拨]　以“第6项为常数项”为突破口，先求n，再求含x2的项的系数，对于有理项是指x的指数为整数的项． [自主解答]　(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx－＝Ckx. ∵第6项为常数项， ∴k＝5时，＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝2， 故含x2的项的系数是C2＝. (3)根据通项公式，由题意 令＝r(r∈Z)， 则10－2k＝3r，k＝5－r， ∵k∈N，∴r应为偶数． ∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2. [方法探究] (1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且n≥k)；第二步是根据所求的指数，再求特定项． (2)有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致． ●变式训练 2．若n展开式中前三项系数成等差数列．求： (1)展开式中含x的一次幂的项； (2)展开式里所有x的有理项．