第1章 4 简单计数问题-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§4　简单计数问题 ●趣味导入 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生． 问：不同的传递方案共有多少种？ ●学案导引 知识点 简单的计数问题 掌握 解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般；先分组后排列；先分类后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为排列、组合问题的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性． ●思考探究 解决组合应用问题的总体思路是什么？ 提示　(1)整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，运用加法原理． (2)局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，运用乘法原理． [来源:学科网ZXXK] 类型一　无约束条件的排列、组合问题 [例1]　某铁路线上有5个车站，这条路线上共需要准备多少种车票？多少种票价？ [思路点拨]　本题关键考虑车票与票价是两个不同的概念，车票与起点、终点站顺序有关，而票价与两站顺序无关，即车票是排列问题，票价是组合问题． [自主解答]　因为一种火车票与起点、终点站顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票不同，故它是排列问题，共有A＝20种车票；票价与两站顺序无关，是组合问题，共有C＝10种票价． [方法探究] 无约束条件的计数问题比较简单，关键是判断所给问题是排列问题还是组合问题．判断的标准为：所给问题如果与顺序有关，则是排列问题，如果与顺序无关，则是组合问题． ●变式训练 1．5名同学约定，假期里每两人互通一封信，告诉对方自己的情况，共需写信多少封？若互通一次电话告诉对方自己的情况，共需打多少次电话？ 解析　两个人互写一封信与写信人和收信人的顺序有关，是排列问题，共A＝20(封)，通电话与顺序无关，是组合问题，共C＝10(次)． 类型二　含有附加条件的排列、组合问题 [例2]　已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有次品为止． (1)若恰在第5次才测试到第一件次品，第十次才找出最后一件次品，则不同的测试方法有多少种？ (2)若恰在第5次测试后就找到了所有4件次品，则这样的不同测试方法是多少种？ [思路点拨]　由题目可获得以下主要信息： ①有10件产品，其中4件次品； ②要一一测试，找出所有次品． 解答本题可根据条件合理转化求解，求解时合理分类或分步． [自主解答]　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选在第5和第10的位置上进行测试，有C·A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测试方法．所以共有不同测法A·CA·A＝103 680(种)． (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·(C·C)A＝576(种)． [方法探究] (1)对排列、组合的应用题应遵循两个原则： 一是按元素的性质进行分类； 二是按事件发生的过程进行分步． (2)对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数． ●变式训练 2．9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其中甲必须排在第一行，乙、丙必须排在第二行，有多少种不同排法？ 解析　可分两步，第一步，先从甲、乙、丙以外的6人中选出3人，将这3人连同甲排在第一行，有CA种排法；第二步，将剩余的5人排在第二行，有A种排法，由分步乘法计数原理，可知共有CAA＝57 600种排法． 类型三　综合应用 [例3]　(1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A．72　　　　　B．120 C．144　　　　　D．168 (2)有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方案？ [思路导引]　(1)根据小品节目与相声节目的相对位置关系进行分类求解． (2)按选出4人中是否含甲分情况分类． [解析]　(1)第一类，当2个小品类节目在1个相声类节目同侧时有CACA＝72种排法； 第二类，当2个小品类节目在1个相声类节目两侧时有AA＝48种排法； 共有72＋48＝120种排法． (2)分两类：第一