第1章 2 一 排列与排列数公式-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§2　排列 一　排列与排列数公式 ●趣味导入[来源:学§科§网] 观察下列问题： (1)甲、乙、丙三人站成一排照相有多少种站法？[来源:学科网] (2)从你们班的50名同学中选出6人分别担任6个学习小组的组长，有多少种安排方法？ 你认为上述问题与人的安排顺序有关吗？排列的定义是什么？ ●学案导引 知识点一 排列的意义 理解 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同．把有关求排列的个数问题叫作排列问题． ●思考探究 1．排列的定义中包含什么基本内容？你能举例说明与顺序有关、无关的问题吗？ 提示　排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”(无重复元素)；一是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关．例如，从1,2,3这3个数中每次取出2个数，问2个数相乘有多少个不同的积或相加有多少个不同的和，就与位置无关，即与顺序无关；如果改为相减或相除，有多少不同的差和商就与位置有关，也就是与顺序有关．因加法和乘法有交换律，而减法和除法没有． 2．如何判断一个具体问题是否为排列问题？ 提示　判断的依据是从n个不同元素中取出m个元素后，在安排这m个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．而检验它是否有顺序的依据就是变换元素不同的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 知识点二 排列数及排列数公式 掌握 1.把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 2．排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.这里n，m∈N＋且m≤n，并规定0！＝1. ●思考探究 1．“排列”和“排列数”有何不同？ 提示　“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数． 2．你能指出排列数公式乘积形式的结构特点吗？ 提示　排列数公式右边有三个特点：共m个连续正整数的连乘积；第一个因数是n，后面每一个因数比它前面的一个因数小1；最后一个因数是n－m＋1. 类型一　排列的概念 [例1]　判断下列问题是否是排列问题． (1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相减(除)可得多少种不同的结果？ (2)从1,2,3,5中任取两个不同的数相加(乘)可得多少种不同的结果？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？ (4)从学号为1到10的10名同学中任抽2名同学去学校参加座谈会，有多少种选法？ (5)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ [思路点拨]　 [自主解答]　(1)由于两数相减(除)，两数互换后结果会有变化，故元素是有顺序的，所以是排列问题． (2)由于两数相加(乘)，两数互换后对结果无影响，故元素是无顺序的，所以不是排列问题． (3)元素是有顺序的，故是排列问题． (4)由于这两名同学先抽谁都是一样的，即元素无顺序，故不是排列问题． (5)对于直线而言，哪个点在前是无所谓的，而确定射线的两点的顺序关系到射线向哪边延伸，故确定射线是排列问题，确定直线不是． [方法探究] 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认： (1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题． (2)其次是保证选出的元素在被安排时的有序性，否则不是排列问题．而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． ●变式训练 1．给出以下问题： ①从3,5,7,9四个数中任取两个数作为对数的底数和真数，有多少个不同的值？ ②从0到9这十个数中任取两个数，组成点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ ③某班有50名学生，假期互发一次短信，共需写信多少封？ ④某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 其中是排列问题的是________．(只填序号) 解析　①是．对数值与底数和真数的取值不同有关系，与顺序有关． 同理②也是排列问题． ③是，通信有来往，且为互发，有顺序． ④是因为从一门进，从另一门出是有顺序，所以是排列问题． 答案　①②③④ 类型二　有关排列数的计算与证明 [例2]　(1)化简下列各式： ①1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！(提示：n·n！＝(n＋1)！－n！)； ②＋＋＋…＋； (2)求证：A＋mA＝A. [思路点拨]　 转化A或转化n！(n！＝n(n－1)(n－2)…3