第1章 1．1～1.2 分类加法计数原理 分步乘法计数原理(一)-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§1　分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1．1～1.2　分类加法计数原理　分步乘法计数原理(一) ●趣味导入 2019年全国两会于3月在北京召开，会前来自山东的某代表要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘． 问：此代表会前这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ ●学案导引 知识点一 分类加法计数原理 掌握 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理) ●思考探究 1．如果完成一件事有n类不同方案，应如何计数？ 提示　完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．解决分类加法计数问题的思路是什么？ 提示　(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事． (2)完成这件事如何进行分类，每一类又有哪些方法． (3)加法计算完成这件事共有多少种不同的方法． 知识点二 分步乘法计数原理 掌握 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．(也称乘法原理) ●思考探究 1．如何正确区分“分类”还是“分步”？ 提示　(1)“分类”中的每种方法互不影响，可独立完成． (2)“分步”中的每种方法相互依存，缺一不可． 2．如果完成一件事需要n个步骤，应如何计数？ 提示　完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．解决分步乘法计数问题的思路是什么？ 提示　(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事． (2)完成这件事如何进行分步，每一步中又有几种方法． (3)乘法计算完成这件事共有多少种不同的方法． 类型一　分类加法计数原理的应用 [例1]　(1)如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，现发现电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 A．16种　　　　B．15种 C．9种　　　　　D．8种 (2)某校高三共有三个班，其中各班人数如表： 班级 男生数 女生数 总数 高三(1) 30 20 50 高三(2) 30 30 60 高三(3) 35 20 55 ①从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？[来源:学科网ZXXK] ②从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ [思路导引]　(1)根据题意，可将其分为1个、2个、3个、4个焊接点脱落的情形，即分成四类，按照分类加法计数原理求解． (2)满足分类加法计数原理，用分类加法计数原理求解． [自主解答]　(1)按照可能脱落的个数可分成四类： 第一类，1个焊接点脱落，有4种情况． 第二类，2个焊接点脱落，有6种情况．即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 第三类，3个焊接点脱落，有4种情况．即(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 第四类，4个焊接点脱落，有1种情况．即(1,2,3,4)． 所以共有4＋6＋4＋1＝15种情况，故选B. (2)①从三个班中任选一名学生可分三类： 第一类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法； 第二类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法； 第三类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法共有 N＝50＋60＋55＝165(种)． ②由题设知共有三类： 第一类，从高三(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第二类，从高三(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法； 第三类，从高三(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法． 由分类加法计数原理知，不同的选法共有 N＝30＋30＋20＝80(种)． [方法探究] 1．应用分类加法计数原理解题的步骤 2．利用分类加法计数原理时的注意点 (1)要准确理解题意，确定分类的标准． (2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保持相互的独立性． ●变式训练 1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解析　解法一　按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分为8类，在每一类中