专题12 一线三等角模型-备战2021年中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）

题型十二 一线三等角模型 【要点提炼】 1、 【认识一线三等角模型】 一线三等角模型顾名思义，即在一条直线上有三个相等的角，就可称为一线三等角模型，按角的大小可分为：锐角型、直角型、钝角型 2、 【一线三等角模型的重要结论】如上图1 ① 证明： ② ∵ 3、 【特殊情况下的一线三等角模型】 ①全等型一线三等角 注意：一线三等角模型只有在对应边相等的情况下才能全等，不能随意理解为只要两个边相等就能全等 ②中点型一线三等角模型 当D为BC中点时，图形除了原本的结论还有新的结论可以得到，而该情况较常考到，因此可以作为模型记下来，证明过程如下 由BDE 得 ∵D为BC中点 ∴BD = CD ∴ 又∵∠EBD=∠EDF ∴ ∴∠4 = ∠5 即ED为∠BEF的平分线 ③不在同一侧的一线三等角模型 下图中，直线AP上也有三个等角，但三个角不在直线AP的同一侧，此时是比较特殊的一线三等角模型，也可证明两三角形相似 证明：∵∠1+∠2=∠DBA ∠2+∠3=∠DPC ∠DBA=∠DPC ∴∠1+∠2=∠2+∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠DBA=∠CAQ ∴∠DBP=∠CAP ∴ Q 4、 【构造一线三等角模型】 ①已知一线二等角--补一等角--构成一线三等角 ②已知一线特殊角--补二等角--构成一线三等角 （如下图） 【专题训练】 一．选择题（共1小题） 1．已知△ABC，AC＝BC，∠C＝120°，边长AC＝10，点D在AC上，且AD＝6，点E是AB上一动点，联结DE，将线段DE绕点D逆时针旋转30°得到线段DF，要使点F恰好落在BC上，则AE的长是（　　） A．4+4 B．6 C．4 D．4+2 【答案】A 【解析】解：如图，延长DC到G，使DG＝AE，连接FG， ∵AC＝BC，∠C＝120°， ∴∠A＝30°，∠FCG＝60°， ∵∠A+∠1＝∠EDF+∠2， 又∵∠EDF＝30°， ∴∠1＝∠2， 在△EDA和△DFG中， ， ∴△EDA≌△DFG（SAS）， ∴AD＝GF＝6，∠A＝∠G＝30°， ∵∠G+∠FCG＝90°， ∴∠CFG＝90°， 设CF＝x，则CG＝2x，由CF2+FG2＝CG2得： x2+62＝（2x）2， 解得x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去）， ∴CG＝4， ∴AE＝DG＝4+4， 故选：A． 二．填空题（共3小题） 2．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中： ①BF＝CE； ②∠AEM＝∠DEM； ③AE﹣CEME； ④DE2+DF2＝2DM2； ⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF：1； ⑥CF•DM＝BM•DE， 正确的有　①②③④⑤⑥　．（只填序号） 【答案】①②③④⑤⑥ 【解析】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACE＝90°， ∵∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF， 又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC， ∴△BCF≌△CAE（AAS）， ∴BF＝CE，故①正确； 由全等可得：AE＝CF，BF＝CE， ∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF， 连接FM，CM， ∵点M是AB中点， ∴CMAB＝BM＝AM，CM⊥AB， 在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM， ∴∠DBF＝∠DCM， 又BM＝CM，BF＝CE， ∴△BFM≌△CEM（SAS）， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME， ∵∠BMC＝90°， ∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形， ∴EFEM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°， ∵∠AEC＝90°， ∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确， 设AE与CM交于点N，连接DN， ∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°， ∴△DFM≌△NEM（ASA）， ∴DF＝EN，DM＝MN， ∴△DMN为等腰直角三角形， ∴DNDM，而∠DEA＝90°， ∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确； ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝45°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°， ∵∠DEM＝45°， ∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM， ∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE， ∴△ADE≌△ACE（ASA）， ∴DE＝CE， ∵△MEF为等腰直角三角形， ∴EFEM， ∴，故⑤正确；