第一章 §2-§2.2 等差数列的前n项和-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2.2　等差数列的前n项和 [课标解读] 1．探索并掌握等差数列的前n项和公式． 2．学会用公式解决一些实际问题．(重点、难点) 3．体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的联系． [教材梳理] 1．数列的前n项和 (1)定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． (2)表示：常用符号Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. 2．等差数列的前n项和公式[来源:学#科#网] 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝n(a1＋an) Sn＝na1＋n(n－1)d [要点探究] ►知识点一　等差数列前n项和公式 结合等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式①Sn＝；②Sn＝na1＋d，思考下面的问题： [探究1]　在求等差数列前n项和时如何选用公式？ 提示　在求等差数列前n项和时，若已知a1，an和项数n，则使用公式Sn＝；若已知首项a1，公差d及项数n，可利用公式Sn＝na1＋d. [探究2]　等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式中共涉及几个量？如何求这些量？ 提示　在这些公式中共含有5个量a1，d，n，an，Sn，所以只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量． ►知识点二　等差数列前n项和的性质 由等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d，变形得：Sn＝n2＋n，请根据该式子思考下面的问题： [探究1]　等差数列的前n项和是否可以看成是关于n的二次函数？ 提示　可以，若令A＝，B＝a1－，则Sn＝n2＋n可化为Sn＝An2＋Bn，显然是关于n的二次函数． [探究2]　若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列是否为等差数列？若是，则公差是什么？首项是什么？ 提示　根据等差数列的前n项和公式可得，Sn＝n2＋n，两边同除以n得：＝a1＋(n－1)，所以是首项为a1，公差为的等差数列． 题型一　与等差数列前n项和有关的基本运算 　(1)已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和an； (2)已知等差数列{an}中，S5＝24，求a2＋a4； (3)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d. (4)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝ A．－12　　　B．－10　　　C．10　　　 D．12 【尝试解答】　(1)Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (2)解法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则S5＝5a1＋d＝24， 即5a1＋10d＝24，∴a1＋2d＝， ∴a2＋a4＝2(a1＋2d)＝2×＝. 解法二　由S5＝＝24得a1＋a5＝， ∴a2＋a4＝a1＋a5＝. (3)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d， 又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， ∴ 把(n－1)d＝－513代入②得n＋n·(－513)＝－1 022，解得n＝4，∴d＝－171. (4)通解　设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. 优解　设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. ●方法技巧 a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用． 1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50， (1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则10d＝a20－a10＝50－30＝20，所以d＝2， 故an＝a10＋(n－10)d＝30＋2(n－10)＝2n＋10， 即an＝2n＋10. (2)Sn＝n(a1＋an)＝n(12＋2n＋10)＝242， 即n2＋11n－242＝0，解得n＝11(n＝－22不合题意舍去)． 　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝ A．18　　　B．17　　　C．16　　　D．15 (2)等差