第三章 §4-§4.1 二元一次不等式(组)与平面区域-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§4　简单线性规划 §4.1　二元一次不等式(组)与平面区域 [课标解读] 1．掌握二元一次不等式(组)表示平面区域的画法．(重点) 2．理解二元一次不等式(组)表示平面区域的探究过程．(难点) [教材梳理] 1．二元一次不等式(组)的概念 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式叫作二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫作二元一次不等式组． (2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 2．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法 (1)二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界． 不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． (2)二元一次不等式表示平面区域的确定 ①直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同． ②在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． [要点探究] ►知识点一　二元一次不等式表示的平面区域 [探究1]　在平面直角坐标系中，根据点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，探究下列问题： (1)直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面分成几部分？ 提示　直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面分成三部分，直线上及直线两侧． (2)点P(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C＝0的位置关系如何？ 提示　若Ax0＋By0＋C＝0，则点P在直线l上；若Ax0＋By0＋C>0(<0)，则点P在直线l的两侧． [探究2]　若把“Ax＋By＋C＝0”改为“Ax＋By＋C>0”，回答下列问题： (1)当A，B取何值时，不等式Ax＋By＋C>0为二元一次不等式？ 提示　根据二元一次不等式的定义，可知当A≠0且B≠0时，不等式Ax＋By＋C>0为二元一次不等式． (2)不等式Ax＋By＋C>0的解集与坐标平面内的点有何关系？[来源:学科网ZXXK] 提示　二元一次不等式的解集中的有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．于是二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标平面内的点构成的集合，即可用平面区域表示． (3)如何确定不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域？ 提示　可在直线的某一侧取某个特殊点P(x0，y0)作为测试点，若不等式Ax0＋By0＋C>0成立，则不等式Ax＋By＋C>0表示点P(x0，y0)所在的那一侧，否则表示直线Ax＋By＋C＝0的另一侧． ►知识点二　二元一次不等式组表示的平面区域 [探究1]　二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集还是并集？为什么？ 提示　由于所求平面区域的点的坐标要同时满足不等式组中的每一个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集． [探究2]　每个二元一次不等式组都能表示平面上的一个区域吗？ 提示　不一定．当不等式组解集为空集时，不等式组不表示任何平面区域. 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 　画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x－y－6≥0；(2) 【尝试解答】　(1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0，0)代入2x－y－6中， ∵2×0－1×0－6＝－6<0， ∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)． (2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0，0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5>0，∴原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．右上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域． ●方法技巧 画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，其一般步骤： 1．“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，若有等号，则画实线；若无等号，则画虚线． 2．“特殊点定域”，即取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，根据Ax0＋By0＋C的符号确定出相应的不等式表示的平面区域．一般地，当C＝0时，常把(1，0)或(0，1)作为特殊点；当C≠0时，取(0，0)作为特殊点． 1．画出不等式组表示的平面区域． 解析　不等式x<3表示直线x