第三章 §3-§3.2 基本不等式与最大(小)值-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3.2　基本不等式与最大(小)值 [课标解读] 1．理解并掌握基本不等式及变形的应用．(重点) 2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(难点) [教材梳理] 基本不等式与最值 ⇒ xy≤(当且仅当x＝y时取等号) ⇒ 记忆口诀：和定积最大，积定和最小． [要点探究] ►知识点一　利用基本不等式求函数最值 [探究]　根据基本不等式“≥(x>0，y>0)，当且仅当x＝y时，等号成立”，思考下列问题： (1)若x＋y＝xy，如何求x＋y和xy的范围？ 提示　因为≥，所以xy≤，又x＋y＝xy，所以x＋y≤，整理得(x＋y)2－(x＋y)≥0，从而可求得x＋y的范围．因为xy≤，x＋y＝xy，所以xy≤，整理得(xy)2－4xy≥0，可求得xy的范围． (2)常用的构造定值条件的变换技巧有哪些？ 提示　①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式． ►知识点二　利用基本不等式解实际应用题 [探究1]　解实际应用问题的一般流程如下： 你认为其关键是什么？ 提示　关键是建立数学模型． [探究2]　什么样的实际应用问题不能用基本不等式求最值？ 提示　当运用基本不等式求最值时，使等号成立的自变量的取值不在定义域内时，就不能用基本不等式求最值． [探究3]　除了应用基本不等式求实际应用问题的最值外，还有哪种方法可用？[来源:学科网ZXXK] 提示　除应用基本不等式求实际应用问题的最值外，常用的方法是应用函数的单调性求最值. 　(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值． 【尝试解答】　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. (2)解法一　∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤ ＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 解法二　∵0<x<，∴－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．[来源:Zxxk.Com] ∴当x＝时，函数取得最大值. ●方法技巧 1．在利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”是否同时具备，否则所得结果可能出错． 2．第(2)小题也可以将解析式展开，使用二次函数配方法求解． 1．(1)已知x＞0，求f(x)＝＋3x的最小值； (2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值． 解析　(1)f(x)＝＋3x≥2＝12. 当且仅当即x＝2时“＝”号成立， ∴f(x)min＝12. (2)当x＜3时，x－3＜0，－(x－3)＞0， ∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1. 当且仅当即x＝1时“＝”号成立．[来源:Z.xx.k.Com] ∴f(x)max＝－1. 　(1)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是 A．6＋2　　　　　　 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 (2)设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为 A. B．(0，5] C. D．[5，＋∞) 【尝试解答】　(1)由log4(3a＋4b)＝log2得，3a＋4b＝ab，则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝2＋3时等号成立，故其最小值是7＋4. (2)由题知，当x>0时，f(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1⇒a≥. 【答案】　(1)D　(2)C ●方法技巧 利用基本不等式解决此类问题的基本方法有 1．有为1的等式时，将“1”整体代入，展开，运用基本不等式； 2．利用条件的等式统一变形，然后配凑出利用基本不等式的条件； 3．直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式． 2．(1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________． (2)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为________． 解析　(1)∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝16. 当且仅当即时，等号成立． ∴(x＋y)min＝16. (2)∵x＋2y＝1， ∴＋＝＋ ＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴＝3＋2. 　沂蒙山水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【尝试解答】　(1)第n次投