第三章 §1 不等关系-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1　不等关系 [课标解读] 1．通过实例，了解日常生活中存在的大量的不等关系，并能用不等式或不等式组表示． 2．理解不等关系的分类概括，不等关系的传递性，不等式的基本性质．(重点) 3．掌握比较实数大小的方法，并能运用它来比较两个实数(或代数式)的大小．(难点) [教材梳理] 1．不等式中文字语言与数学符号之间的关系 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 大于或等于 ≥ 小于 < 小于或等于 ≤ 至多 ≤ 不少于 ≥ 至少 ≥ 不多于 ≤ 2.比较两实数大小的依据 a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b． 3．不等式的基本性质 (1)a>b，b>c⇒a>c(传递性)． (2)a>b，c∈R⇒a＋c>b＋c(可加性)． a＋b>c⇒a>c－b(移项法则)． (3)a>b，c>0⇒ac>bc(可乘性)． a>b，c<0⇒ac<bc． (4)a>b⇔b<a(对称性)． (5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d(加法法则)． (6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd>0(乘法法则)． (7)a>b>0，n∈N且n≥2⇒an>bn(乘方法则)． (8)a>b>0，n∈N且n≥2⇒>(开方法则)． [要点探究] ►知识点一　用不等式(组)表示不等关系 [探究1]　某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 提示　 [探究2]　用不等式(组)表示不等关系时应注意什么？ 提示　(1)在用不等式(组)表示不等关系时，应特别注意能否取到等号； (2)在解决含有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有的不等关系都找出来． ►知识点二　比较大小 [探究1]　比较两个实数的大小，除了用作差法之外，还可以用什么方法？其依据是什么？ 提示　比较两个正数的大小，还常用作商法，其依据为当a>0，b>0时，①>1⇔a>b；②＝1⇔a＝b； ③<1⇔a<b. [探究2]　用作差法比较两数(式)大小时，其中差式变形是最关键的一步，其中常用的手段有哪些？ 提示　常用的手段有配方、因式分解、通分等方法． ►知识点三　不等式性质的理解 [探究1]　两个同向不等式相加，不等号方向不变；两个同向不等式相减，不等号的方向仍然不变吗？ 提示　不一定．如8>3，－2>－9，8－(－2)<3－(－9)． [探究2]　若a<b<0，c<d<0，思考ac与bd的大小关系如何？ 提示　∵a<b<0，c<d<0，∴－c>－d>0，－a>－b>0，∴ac>bd. [探究3]　若a>b>0，那么对任意整数n，都有an>bn吗？ 提示　不一定．例如a＝4，b＝3，即4>3>0，当n＝－1时，a－1＝4－1＝，b－1＝3－1＝，显然an<bn. 　某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件，若把价格提高后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？ 【尝试解答】　因为提价后商品的售价为x元，则销售量减少10(x－10)件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则每天的利润不低于300元可以表示为(x－8)[100－10(x－10)]≥300. ●方法技巧 1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题[来源:学科网ZXXK] 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较大小的两个(或几个)量，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示． 1．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解析　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可．[来源:Z&xx&k.Com] 即 　(1)已知a＝＋，b＝＋，则a________b(填“<”或“>”)； (2)设a，b，c∈R，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小． 【尝试解答】　(1)a2＝13＋2，b2＝13＋2， ∴a2－b2＝(13＋2)－(13＋2)＝2(－)<0，故a2