第二章 §3 解三角形的实际应用举例-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3　解三角形的实际应用举例 [课标解读] 1．熟练掌握正、余弦定理及其应用． 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度与角度问题．(重点) 3．能够将实际问题转化为数学问题．(难点) [教材梳理] 1．基线的定义 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示) [要点探究] ►知识点一　测量距离问题 [探究1]　如图所示，A，B两点之间不可到达，在点A的一侧，需测出哪些量，可以求出A，B两点的距离？ 提示　测量者在点A的同侧、在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离、∠BAC的大小、∠ACB的大小三个量． [探究2]　如图所示，A，B两点都在河的对岸，不可到达，结合图形，需测出哪些量，可以求出A，B两点间的距离？ 提示　结合图像，需要测出CD的长、∠BCD的大小、∠BDC的大小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB的长．故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小． ►知识点二　测量高度问题 如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 . [探究1]　通过观察图形，你认为能够测量出哪些量？ 提示　能够测量出的分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高h. [探究2]　你能说出求AE长的一个解题思路吗？ 提示　求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长． ►知识点三　测量角度问题 请结合下图，探究下面的问题： [探究1]　你能用方向角表述上图中的角吗？ 提示　上图中AB的方向角是北偏东75°，BC的方向角是北偏东32°. [探究2]　方向角与方位角的含义是什么？ 提示　(1)方向角：四正(正北，正南，正东，正西)方向线与目标方向线所成的角，通常选用两个相邻正方向来描述，例如描述为北偏东×°，南偏西×°.如图所示，图①的m°角描述为北偏西m°；图②的n°角描述为南偏东n°. (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，图③方位角为130°；图④方位角为200°. 　在一次反恐作战的战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，我军在两个相距a的观测点C和D处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°(如图所示)．求基地组织的两个训练营地之间的距离． 【尝试解答】　由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°， 又∵∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°. ∴AD＝CD＝AC＝a.[来源:Z|xx|k.Com] 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得＝， ∴BD＝CD·＝＝a. 在△ADB中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB ＝a2＋－2×a·a·＝a2， ∴AB＝a. 所以基地组织的两个训练营地之间的距离为a. ●方法技巧 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 1．方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个基本的方法． 2．关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算． 1．如图，现要计算北江岸边两景点B与C的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离．(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：≈1.414) 解析　在△ABD中，设BD＝x， 则BA2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠BDA， 即142＝x2＋102－20xcos 60°. 整理，得x2－10x－96＝0. 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)． 在△BCD中，由正弦定理得 ＝， ∴BC＝·sin 30°＝8≈11(km)． 　在某一山顶观测山下两村庄A，B，测得A的俯角为30°，B的俯角为40°，观测A，B两村庄的视角为50°，已知A，B在同一水平面上且相距1 000 m，求山的高度．(参考数据sin 40°≈0.643，精确到1 m) 【尝试解答】　设山顶为C，山高CD＝x，由题意∠CAD＝30°，∠CBD＝40°，∠ACB＝50°. 在Rt△ADC中，AC＝＝2x， 在Rt△BDC中，BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， ∴1 0002＝4x2＋－cos 50°， ∴x＝1 000·sin 40°≈643(m)， 即山高约为643 m.