第二章 §2 三角形中的几何计算-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§2　三角形中的几何计算 [课标解读] 1．体会正弦定理、余弦定理在平面几何的计算与推理中的工具作用． 2．理解正、余弦定理，并能运用它们解决三角形中的有关问题．(重点)[来源:学科网] 3．能正确挖掘图形中的几何条件，能利用正、余弦定理解决一些简单综合问题．(难点) 三角形面积常用公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha、hb、hc为相应边的高)． (2)S△ABC＝absin__C＝bcsin__A＝casin__B． (3)S△ABC＝. [来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK] 　在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6. (1)求∠ADC的大小； (2)求AB的长． 【尝试解答】　(1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得 cos∠ADC＝＝＝－， ∴∠ADC＝120°. (2)由(1)知∠ADB＝60°， 在△ABD中，AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝＝10. ●方法技巧 有关角和线段的长度计算问题，可以把它们放在三角形中，通过分析三角形中的已知的边和角，选择正弦定理或余弦定理求解． 1．如图在△ABC中，已知点D在BC边上，且·＝0，sin∠BAC＝，AB＝3，BD＝. (1)求AD的长； (2)求cos C的值．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 解析　(1)∵·＝0，∴AD⊥AC， ∴sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD. ∵sin∠BAC＝，∴cos∠BAD＝. 在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD， 把AB＝3，BD＝，代入上式，化简可得AD2－8AD＋15＝0， 解得AD＝5或AD＝3，∵AB＞AD，∴AD＝3. (2)在△ABD中，由正弦定理可得＝， 又由cos∠BAD＝可得sin∠BAD＝， ∴sin∠ADB＝＝. ∵∠ADB＝∠DAC＋C＝＋C，∴cos C＝. 　△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【尝试解答】　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD. ∵S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， ∴AB＝2AC. 由正弦定理得＝＝. (2)∵S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， ∴BD＝， 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC， 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. ●方法技巧 求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧 1．若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积． 2．若所给图形为平面三角形，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式S＝absin C或S＝bcsin A或S＝acsin B进行求解． 2．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________． 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 又∵b＝6，a＝2c，B＝， ∴36＝4c2＋c2－2×2c2×， ∴c＝2，a＝4， ∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6. 答案　6 　如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. (1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 【尝试解答】　(1)在△ADC中，由余弦定理得 cos∠CAD＝， 故由已知可得cos∠CAD＝＝. (2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. ∵cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，∴sin∠CAD＝＝＝， sin∠BAD＝＝＝. 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ＝×－×＝. 在△ABC中，由正弦定理得＝. 故BC＝＝＝3. ●方法技巧 解决正、余弦定理综合应用问题的一般方法 1．灵活利用正、余弦定理实现三角形中边、角关系的转化，求出需求的量； 2．应用三角公式对三角函数式进行恒等变形，解决相关量的最值或范围问题． 3．(2018·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝__________，c＝____________． 解析　∵a＝，b＝2，A＝60°，∴由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c