6.2.2平面向量的数量积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

6.2.2　平面向量的数量积 【知识一】向量的数量积 1.两向量的夹角与垂直：（1）夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. （2）垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 2.向量数量积的定义：非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 3.投影向量：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 4.数量积的性质：设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 5数量积的运算律： 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【例4-1】（1）已知，，与的夹角为60°，则________. （2）已知是边长为6的正三角形，求=____________ （3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则 【变式4-1】已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b). 【例4-2】（1）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A．1 B．-1 C． D．- （2）若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( ) A． B． C． D． 【变式4-2】已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角. 【例4-3】（1）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． （2）已知，为单位向量，，则在上的投影为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知向量的夹角为，且，则向量在向量方