8.6.3 平面与平面垂直-2020-2021学年高一数学新教材配套导学案（人教A版2019必修第二册）

8.6.3 平面与平面垂直 学习目标: 1. 理解二面角的概念，并会求简单的二面角； 2. 掌握平面和平面垂直的判定定理及性质定理. 预习案 1. 二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的_棱_,这两个半平面叫二面角的__面_______. 图中的二面角可记作:或或 或 . (2)二面角的平面角:如图,在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作_垂直于棱的射线,则射线和构成的叫做 二面角的平面角 .平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是. 2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是_直二面角__,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作 . (2)判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 . 符号表示为:. 即时练习1：如图，，,你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 证明：平面平面,平面平面 ,又,, 平面平面 即时练习2：如图在正三棱柱中，为棱的中点，求证：平面 平面. 证明：, 为正三角形，为中点， , ，又 (3)性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 . 符号表示为:. 即时练习3：如图，正方形所在平面与以为直径的半圆所在平面互相垂直，为半圆周上异于，两点的任一点，求证：平面平面. 证明：是半圆直径，， ∵四边形是正方形，∴ ∵平面平面，且平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴，∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 探究案 1. 已知直线与平面，能使的充分条件是（D ） A. B. C. D. 2. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面．（ × ). （2）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．（ √ ). （3）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．（ √ ). 3．若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是（ B ). （1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线. （2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线. （3）平面内的任一条直线必垂直于平面． （4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面． A.3 B.2 C.1 D.0 4.已知是两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．已知平面，平面平面，求证：平面. 证明：作 ， 平面平面， 平面平面， 面 ， ，又， ， ， ， . 6．如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 【分析】 （1）由已知可得，再由面面垂直定理可得平面，即可证明结论； （2）平面，用等体积法求三棱锥的体积. 【详解】 （1）为中点，， 平面平面，平面平面， 平面，平面平面， 平面平面； （2）且，分别为的中点， ， 平面，， . 7．如图所示，四棱锥的底面是菱形，，底面，在上确定一点，使得平面平面 . 【分析】 取CD的中点E，连接PE，BE，BD，由已知△BCD是等边三角形得BE⊥CD，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE，可得BE⊥平面PAB可得答案. 【详解】 取CD的中点E，连接PE，BE，BD， 由底面ABCD是菱形且∠BCD＝知， △BCD是等边三角形， 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD， 又AB∥CD，所以BE⊥AB， 又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD， 所以PA⊥BE， 而PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BE⊥平面PAB，又BE⊂平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB， 所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面PAB. 8.如图，已知平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小． 【分析】 （1）根据和证明平面，即可证明； （2）由题可得即为二面角的平面角，根据已知求解即可. 【详解】 （1）平面，平面，， ，， 平面， 平面，平面平面； （2）由（1）得平面， 平面，， ，即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，则， ，即二面角的大小为. 9．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面. （1）证明：平面平面； （2）设，，求二面角的余弦值. 【分析】 （1）依据题意可得，根据圆的性质可得，最后根据面面垂直的判定定理可得结果. （2）作，通过证明平面，找到二面角的平面角，然