2021届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学试题（一）（解析版）

2021年广东省高考数学模拟试卷（一）（一模）（东莞一模） 一、选择题（共8小题）. 1．已知集合M＝{x|﹣7＜3x﹣1＜2}，N＝{x|x+1＞0}，则M∪N＝（　　） A．（﹣2，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，+∞） 2．若复数z满足（z﹣1）（1+i）＝2﹣2i，则|z|＝（　　） A． B． C．5 D． 3．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则f（2e）＝（　　） A．2e2 B．2e C．1+ln2 D．2ln2 4．函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）（x∈[0，]）的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣1，则数列{log2an}的前10项和等于（　　） A．1023 B．55 C．45 D．35 6．已知a，b是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是（　　） A．ab的最小值是1 B．ab的最大值是1 C．的最小值是 D．的最大值是 7．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为（　　） A． B．2 C．3 D．3 8．若（x+a）2（a＞0）的展开式中x4的系数为3，则a＝（　　） A．1 B． C． D．2 二、选择题（共4小题）. 9．已知曲线C：＝1（m≠﹣1，且m≠﹣4），则下列结论正确的是（　　） A．若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为（±，0） B．若曲线C是椭圆，则m＞﹣1 C．若m＜﹣1且m≠﹣4，则曲线C是双曲线 D．直线kx﹣y﹣k＝0（k∈R）与曲线C恒有两个交点 10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的图象关于x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x2+2x，则下列判断正确的是（　　） A．f（x）的值域为（0，1] B．f（x）的周期为2 C．f（x+1）是偶函数 D．f（2021）＝1 11．已知函数f（x）＝cosx+λsinx，则下列说法正确的是（　　） A．若函数f（x）的最小值为﹣5，则λ＝2 B．若x∈（0，），则∃λ∈（0，1）使得f（x）＝λ成立 C．若λ＝，∀x∈[0，]都有|f（x）﹣m|＜1成立，则m∈（1，2） D．若函数f（x）在（0，）上存在最大值，则正实数λ的取值范围是（0，） 12．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的儿何问题．结合上述观点，对于函数f（x）＝，下列结论正确的是（　　） A．f（x）＝6无解 B．f（x）＝6的解为x＝± C．f（x）的最小值为2 D．f（x）的最大值为2 三、填空题（每小题5分，满分20分） 13．已知||＝1，||＝3，且|﹣|＝2，则|+2|＝　 　． 14．某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏灯，则恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是　 　． 15．斜率为的直线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，若|AB|＝3，则p＝　 　，△AOB（O为坐标原点）的面积为　 　． 16．在四面体ABCD中，AB＝AC＝BC＝AD＝CD＝2，二面角B﹣AC﹣D为120°，则四面体ABCD的外接球的表面积为　 　． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，____． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，证明：∀n∈N*，Tn＜． 从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解． 条件①：Sn＝nan﹣n2+n，n∈N*； 条件②：nSn+1＝（n+1）Sn+n2+n，n∈N*； 条件③：＝+1，n∈N*． 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a•sinA+a•sinC•cosB+b•sinC•cosA＝b•sinB+c•sinA． （1）求角B的大小； （2）若b＝3，c＝3，点D满足，求△ABD的面积． 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝2AB＝4BC＝4，PC＝． （1）证明：PA⊥平面ABCD； （2）线段AB上是否存在一点M，使得