上海市金山区2021届高三二模数学试题

金山区2020学年第二学期质量监控 高三数学试卷 (满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．已知集合 ，集合，若 ，则 = ． 2．若关于 的二元一次方程组的增广矩阵为 ，则 = ． 3．不等式 ≥0的解集为 ． 4．若直线 的参数方程为 （t为参数，t(R），则 在 轴上的截距为 ． 5．若 （a、b(R，i为虚数单位），则a+b = ． 6．某圆锥的底面积为 ，侧面积为 ，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 7．若正方形ABCD的边长为1，记 ， ， ，则 ． 8．一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3个球，则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_______（结果用最简分数表示）． 9．若首项为1、公比为 的无穷等比数列的各项和为 ， 表示该数列的前 项和，则 的值为 ． 10．函数 （a>1且a≠1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0，其中m>0，n>0，则 的最小值为 ． 11．若函数 ，其中 ≤x≤ ，则 的最大值为 ． 12．已知向量 与 的夹角为60º，且 ，若 ，其中 ，则向量 在 上的投影的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．函数 （ ）的最小正周期为( )． (A) (B) (C) (D) 14．下列命题为真命题的是( )． (A) 若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直 (B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行 (C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直 (D) 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行 15．设A、B为圆 上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则 的最小值为( )． (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 16．已知定义在实数集 上的函数 满足 ，则 的最大值为( )． (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分) 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C- A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段， 是以BC为直径的半圆，AB= km，AC=4km， ． (1) 求 的长度； (2) 为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A- D- C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若 ，求新建的健康步道A- D- C的路程最多可比原有健康步道A- B- C的路程增加多少长度？（精确到 ） 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为． (1) 求棱的长； (2) 求点到平面的距离． 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知抛物线 的焦点为 ，半径为1的圆 的圆心位于 轴的正半轴上，过圆心 的动直线 与抛物线交于 、 两点，如图所示． (1) 若圆 经过抛物线 的焦点 ，且圆心位于焦点的右侧，求圆 的方程； (2) 是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，试求出该定点 的坐标，若不存在，则说明理由． 20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分) 在数列 中，已知 ， ( )． (1) 证明：数列 为等比数列； (2) 记 ，数列 的前 项和为. 求使得 的整数 的最小值； (3) 是否存在正整数 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列？若存在，求出 、 、 的值；若不存在，请说明理由． 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3