1.4.2充要条件 学案（教师版）-2021-2022学年高一数学人教A版（2019）第一册

§1.4.2 充要条件 【学习目标】 1．从集合角度理解充分条件与必要条件；2．理解充要条件的概念；3．能判定充要关系并证明． 【学习过程】 活动一：从集合角度理解充分条件与必要条件 p ⇒ q，p是q的充分条件，相当于P⊆Q； q ⇒ p，p是q的必要条件，相当于Q ⊆ P． 在P中的元素就一定在Q中，在Q中的元素不一定在P中． 小的可以推出大的，p⇒q；大的不能推出小的，q⇏ p． 1．判断下列哪个p是q的充分条件，哪个p是q的必要条件? (1) p：x<0，q：x2>0，p是q的 充分 条件； (2) p：x＝y，q：|x|＝|y|，p是q的 充分 条件； (3) p：x<2，q：x<0，p是q的 必要 条件； (4) p：菱形，q：正方形，p是q的 必要 条件． 2．填空：(1) xy＝0的一个充分条件是 x＝0 ；x<2的一个必要条件是 x<5 ． (2)已知x<3是x<a的一个必要条件，则实数a的取值范围是 {x|x≤3} ． (3)已知x＋a<0是x－2<0的一个充分条件，则实数a的取值范围是 {x| x≥－2} ． 活动二：逆命题 将命题“若p，则q”中的 条件p 和 结论q互换，就得到一个新的命题“ 若q，则p ”，称这个命题为原命题的 逆命题 ． 1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与他们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等； 原命题 真 ，逆命题 真 (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 原命题 真 ，逆命题 假 (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； 原命题 假 ，逆命题 真 (4)若A∪B是空集，则Ａ与Ｂ均是空集． 原命题 真 ，逆命题 真 活动三：充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是 真命题 ，即既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，就记作： p ⇔ q ，读作： p等价于q ，此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为 充要条件 ．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 1．下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； q ⇏ p ，p 不是 q的充要条件 (2) p：两个三角形相