重点题型训练11：第5章复数-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

北师大版（新教材）高一必修2重点题型N11 复数 考试范围：复数的概念及集合意义、复数的四则运算、复数的三角表示；考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、复数概念的考察 1．实数k为何值时，复数z＝（k2﹣3k﹣4）+（k2﹣5k﹣6）i是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0． 【考点】虚数单位i、复数． 【分析】利用复数z＝a+bi中，b＝0为实数；b≠0为虚数；a＝0且b≠0为纯虚数；a＝b＝0，z＝0分别得到关于k的方程解之． 【解答】解：（1）当k2﹣5k﹣6＝0，即k＝6或k＝﹣1时，z是实数． （2）当k2﹣5k﹣6≠0，即k≠6且k≠﹣1时，z是虚数； （3）当k2﹣5k﹣6≠0，且k2﹣3k﹣4＝0，z是纯虚数，即k＝4时为纯虚数； （4）当k2﹣5k﹣6＝0，且k2﹣3k﹣4＝0，即k＝﹣1时，z是0． 【点评】本题考查了复数的基本概念；属于基础题． 2．求当实数m为何值时，分别是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【考点】虚数单位i、复数． 【分析】首先要使有意义，则m≠﹣3， （1）当复数z虚部等于0时，为实数； （2）当复数z虚部不等于0时，为虚数； （3）当复数z实部等于0虚部不等于0时，为纯虚数． 【解答】解：要使有意义，则m≠﹣3， （1）当，即m＝﹣2时，复数z为实数； （2）当，即m≠﹣3且m≠﹣2时，复数z为虚数； （3）当，即m＝3时，复数z为纯虚数． 【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题． 3．含有参数形式的复数如：3m+9+（m2+5m+6）i，（m∈R）何时表示实数、虚数、纯虚数？ 【考点】虚数单位i、复数． 【分析】此类问题涉及到复数的分类概念．当且仅当b≠0时，z＝a+bi为虚数，当且仅当b＝0时为实数，当且仅当a＝0，b≠0时为纯虚数，当且仅当a＝0，b＝0时为0． 【解答】解：复数z＝3m+9+（m2+5m+6）i， ①m2+5m+6＝0，解得m＝﹣2，或﹣3，因此m＝﹣2，或﹣3，复数z表示复数． ②由m2+5m+6≠0，解得m≠﹣2，且﹣3，因此m≠﹣2，且m≠﹣3，复数z表示虚数． ③由，无解，m取任何实数，复数z不可能是纯虚数． 【点评】本题考查了复数的有关概念、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．若复数z＝sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【考点】虚数单位i、复数． 【分析】复数z＝sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣＝0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出． 【解答】解：∵复数z＝sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数， ∴sinθ﹣＝0，cosθ﹣≠0，∴cosθ＝﹣． 则tanθ＝＝﹣．故选：B． 【点评】本题考查了纯虚数的定义、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】虚数单位i、复数． 【分析】由复数z的实部为0且虚部不为0求得tanθ，再把sinθcosθ转化为含有tanθ的代数式得答案． 【解答】解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数， ∴，解得tanθ＝2． 则sinθcosθ＝． 故选：C． 【点评】本题考查复数的基本概念，考查了三角函数的化简求值，是基础题． 题型2、复数几何意义 1．若复数z满足z（3+4i）＝25，则z在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案． 【解答】解：由z（3+4i）＝25，得z＝， ∴z在复平面内对应的点的坐标为（3，﹣4），在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．复数z＝在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】化简复数z，求出z在复平面内对应的点所在的象限即可． 【解答】解：z＝＝＝＝﹣i， 故复数对应的点在第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题． 3．已知z是复数，z+2i与均为实数． （1）求复数z； （2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【考点】复数的代数表示法及