第7讲函数的对称性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—函数的对称性 1、 基础知识 1.轴对称、中心对称的概念；2.奇偶性的概念； 二、典型例题 例1 已知函数的图像与函数的图像关于点对称，且若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围。 例2 设是定义在上的奇函数，的图像与的图像关于对称，而当时，（为常数），求的表达式； 例3 已知二次函数的图像过点，且函数是偶函数 （1） 求的解析式； （2） 函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样点的坐标，如果不存在，请说明理由。 三、跟踪训练 1.对任意的函数，在同一个坐标系中，函数与函数的图像（ ） A.关于x轴对称 B.关于x=1对称 C. 关于x=-1对称 D. 关于y轴对称 2.研究函数的奇偶性并证明。 3.知函数函数的图像与函数的图像关于原点对称，且 (1)求函数的解析式； (2) 在上为增函数，求实数的取值范围。 4.已知函数， （1） 判断的对称性和奇偶性； （2） 当时，求使成立的实数所构成的集合； 若，记，且在上有最大值，求的取值范围。 $ 高一数学培优课—函数的对称性 1、 基础知识 1.轴对称、中心对称的概念；2.奇偶性的概念； 二、典型例题 例1 已知函数的图像与函数的图像关于点对称，且若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围。 解：，上递减。 在恒成立，即在恒成立。 时，。 ，即实数的取值范围是 例2 设是定义在上的奇函数，的图像与的图像关于对称，而当时，（为常数），求的表达式； 解：由题意得，当时，。 ， 可求得当时，。 是分段函数。 例3 已知二次函数的图像过点，且函数是偶函数 （1） 求的解析式； （2） 函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样点的坐标，如果不存在，请说明理由。 解：（1）是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故。 又因为二次函数的图像过，所以，所以。 因此。 （2）如果函数的图像上存在符合要求的点，设为，其中是正整数，是自然数，则，从而， 即. 注意到43是质数，且，。 所以有：，解得：。 因此，函数的图像上存在符合要求的点，它的坐标是（10，121）。 三、跟踪训练 1.对任意的函数，在同一个坐标系中，函数与函数的图像（ B） A.关于x轴对称 B.关于x=1对称 C. 关于x=-1对称 D. 关于y轴对称 解： 2.研究函数的奇偶性并证明。 解：由题设可知函数的定义域关于原点对称. 当x>0时，-x<0，则f(x)=f(-x) 当x<0，-x>0，则f(x)=f(-x). 综上所述，对于都有f(-x)=f(x)成立， 因此，f(x)为偶函数. 3.知函数的图像与函数的图像关于原点对称，且 (1)求函数的解析式； (2) 在上为增函数，求实数的取值范围。 解：（1）函数的图像与函数的图像关于原点对称，且 则。 （2） 4.已知函数， （1） 判断的对称性和奇偶性； （2） 当时，求使成立的实数所构成的集合； （3） 若，记，且在上有最大值，求的取值范围。 解： $