河南省郑州市中牟县2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题（扫描版）

$2020-2021学年下期期中考试 高二年级数学（理）试题参考答案及评分标准 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C C A C D B B D C D 二、填空题： 13. 14. 15. 16. 三、解答题： 17．【解】（1）∵ ，∴ ，又∵ 为纯虚数， ∴ ，解得 ，∴ . ，∴ ． …………5分 （2）由（1）知 ，∴ ， 又∵复数 所对应的点在第四象限，∴ ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 ． ……………10分 18．【解】（1）∵ ， ，∴ ， ∴ . ……………4分 （2）由（1）计算结果猜想 . ……………5分 下面用数学归纳法证明：①当 时， ，猜想成立，②假设当 时，猜想成立，即： .则当 时， ， ∴ ， 所以，当 时，猜想成立. 根据①②可知猜想对任何 都成立. ……………12分 19．【解】方案一：选条件① （1） ， ……………2分 由题知， ，∴ ， 整理得 ，即 ，解得 或 （舍去）． …………4分 ∴ ，∴展开式共有 项，其中二项式系数最大的项是第 项， ， ∴展开式中二项式系数最大的项是第 项， ． ……………6分 （2）由（1）知， ，∴ ， ……………9分 令 ，解得 ， ，∴展开式中含 的项是第 项， ．…12分 方案二：选条件② （1）由题意得， ，整理得 ， 解得 或 （舍），∴ ， ……………4分 ∴展开式共有 项，其中二项式系数最大的项是第 项， ， ∴展开式中二项式系数最大的项是第 项， ． ……………6分 （2）同方案一（2） 方案三：选条件③ （1） ，∴ ， ……………6分 ∴展开式共有 项，其中二项式系数最大的项是第 项， ， ∴展开式中二项式系数最大的项是第 项， ． ……………6分 （2）同方案一（2） 20．【解】（1）∵ ，∴ ， ，令 ，得 ， （舍去）， 当 变化时， ， 的变化情况如下表 0 1 - 0 + 0 ↘ ↗ 1 所以函数 在 上的最小值为 ． ……………6分 （2） ， ， 当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增，又 ，所以此时 EMBED Equation.3 内无零点，不满足题意． 当 时，由 得 ，由 得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 在 内有且只有一个零点，所以 ，得 ． ……12分 21．【解】（1）从12个点中任意选择4个点有 种方法， 12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形一定以其中两条直径为对角线，所以有 个矩形，故这4个点恰能组成矩形的概率为 . ……………5分 （2）根据题意，6种花卉种在①，②，③，④，⑤5个区域，分五步进行： 第一步：对于区域①有6种花卉选择； 第二步：对于区域②有5种花卉可选； 第三步：对于区域③有5种花卉可选； 第四步：对于区域④有5种花卉可选； 第五步：⑤对于区域⑤有5种花卉可选， 故不同的花卉种植方案有 种． ……………12分 22．【解】（1）函数的定义域为 ， ， 当 时，对于 ， 恒成立， ，解得 ， ，解得 ，所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．