秘籍04 立体几何-备战2021年高考数学抢分秘籍（新高考地区专用）

秘籍04立体几何 1． 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱底面， ，为的中点，则四面体的体积为__________． 求解几何体的表面积或体积的方法： (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算． (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解． (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用． 2．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于 A． B． C． D． 解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． 3．如图，四边形为正方形，四边形为直角梯形，平面⊥平面，,,. （1）在线段上找一点，使得平面； （2）在（1）的条件下，求二面角的大小. 利用向量求二面角 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角． 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标； (3)写出向量坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论． 平面与平面的夹角计算公式 设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|==|cos〈μ，v〉|. 1．【2020·广东省高三一模（理）】已知直三棱柱的体积为，若分别在上，且，则四棱锥的体积是 A． B． C． D． 2．【2020·全国高三（理）】在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线与所成的角是定值； ②三棱锥的体积是定值； ③直线与平面所成的角是定值． 其中真命题的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 3．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知点 在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为 10，则这个球的表面积是 A． B． C． D． 4．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】对于直线，和平面，，的一个充分条件是 A．，， B．，， C．，， D．，， 5．【2020·辽宁省高三二模（理）】已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______． 6．【2020·重庆南开中学高三期中（理）】正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______． 7．【2020·四川省高三三模（理）】如图，平行六面体中，，，，，，则的长为_____． 8．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】如图，在四棱锥中，平面，，，且，， （1）求证：； （2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由． 9．【2020·辽河油田第二高级中学高三月考（理）】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4. （1）证明：平面ADE⊥平面ACD； （2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值. 10．【2020·湖北省高三其他（理）】如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，． (1)求的长； (2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值． 11．【2020·广东省高三其他（理）】已知几何体中，，，，面，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角E－BD－F的余弦值. 12．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，. （1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 13．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，是侧棱上的点． （1）若，证明：是的中点； （2）若，求二面角的余弦值． 14．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 15．【2020·宜宾市叙州