秘籍03 导数及其应用-备战2021年高考数学抢分秘籍（新高考地区专用）

秘籍03 导数及其应用 1．曲线在点处的切线的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 则，又，故切线的方程为：，即. 故选D. 求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 （1）已知切点P(x0, y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 2．若函数在上单调递减,则称为函数.下列函数中为函数的序号为 ①     ②     ③     ④ A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【解析】①,若,则在上单调递减,满足题意,即①为函数,排除D； ②,若,则,构造函数,求导可得在上单调递减,在上单调递增,即②非函数,排除A； ③,若,则在上单调递减,即③为函数； ④,若,则,构造函数,求导可得在上单调递减,在上单调递增,即④非函数,排除C. 故选B． 函数的单调性与导数的关系 一般地，在某个区间(a,b)内： ①如果，函数f (x)在这个区间内单调递增; ②如果，函数f (x)在这个区间内单调递减; ③如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数． 3．若在上是减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即， 因为，所以，的取值范围是. 故选C． 由函数f (x)的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)(f ′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知f (x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 4．设函数，. （1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （2）若在上为单调增函数，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，则（）， 当，，在上单调递减； 当，，在上单调递增， 故当时，取得极小值，为， ∴的极小值为2. （2）因为在上为单调增函数，所以在上恒成立， 即对于恒成立，则， 故的取值范围是. 函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数f (x)极值的方法 ①确定函数f (x)的定义域． ②求导函数f ′(x)． ③求方程f ′(x)＝0的根． ④检查f ′(x)在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值，如果f ′(x)在这个根的左右两侧符号不变，则f (x)在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f ′(x)，求方程f ′(x)＝0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的值或取值范围. 5．对于任意，，当时，恒有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于任意，，当时，恒有成立， 即成立， 令，则， ∴在上单调递减，则在上恒成立， ∴在上恒成立， ∵当时，， ∴实数的取值范围为. 故选C． 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可. （2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 6．曲线，直线及y轴所围成的封闭图形的面积为___________. 【答案】 【解答】由解得， 故所求的面