秘籍02 函数的概念与基本初等函数 -备战2021年高考数学抢分秘籍（新高考地区专用）

秘籍02 函数的概念与基本初等函数 1．已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】当a≤0时，不满足条件． 当a＞0时， 若0＜x＜2，则f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1）， 当x≥2时，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞）， 要使函数的值域为R， 则4a﹣3≤a+1，得a≤， 即实数a的取值范围是（0，]， 故答案为（0，]. 解决分段函数问题的注意事项 分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的. 2．函数的图象大致为 A B C D 【答案】A 【解析】令， ， 为偶函数， 的图象关于y轴对称，故排除B，C， 当时，，故排除D， 或者根据，当时，为增函数，故排除D， 故选A. 函数图象的识别与判断技巧 1．方法1：性质检验法 已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破． 2．方法2：导数法 判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 3．方法3：图象变换法 有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题． 3．若,则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，因为，所以不妨设，所以，所以排除A； ，所以排除B； ，所以排除C； . 故选D． 4．已知，，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得 ，＜，∈（0,1）， 所以. 故选D. 利用指数函数与对数函数的性质比较大小 （1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较． （2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较． 5．对于函数和,设,若存在,使得,则称与互为“零点相邻函数”.若函数=与=互为“零点相邻函数”,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】=,则=的零点为1, 因为=与=互为“零点相邻函数”, 设=的零点为t, 所以,则, 如图所示, 由于=必过点A(), 所以要使=的零点在[0,2]上, 则或, 解得. 故选D． 确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定. 6．已知是定义域为的奇函数，满足， 若，则_____________. 【答案】2 【解析】由f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数， 可得f（﹣x）＝﹣f（x）， f（1﹣x）＝f（1+x）即有f（x+2）＝f（﹣x）， 即f（x+2）＝﹣f（x）， 进而得到f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 则f（x）为周期为4的函数， 若f（1）＝2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2， f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0， 可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018） ＝504×0+2+0＝2． 故填2． 7．已知函数是定义在上的奇函数,当时,. (1)求的解析式; (2)若不等式对于任意恒成立,求实数的取值范围. 【解析】(1)设,则, 于是由题意可得. 又易知,所以 (2)当时,,所以不等式, 即为不等式, 整理得. 设,则,所以可等价转化为对于任意恒成立. 设,其对称轴方程为. 当,即时,只需,即; 当,即时,只需,即,故无解. 综上所述,实数的取值范围是. 将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握： 1．判断函数单调性的一般规律 对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分