4.2.5 正态分布（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

＝(4x2－600x＋3×1002)． 所以当x＝＝75时，f(x)取到最小值3． 4.2.5　正态分布 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解正态曲线和正态分布的意义． 2．理解正态曲线的性质． 3．明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线的影响． 4．了解3σ原则，会用正态分布解决实际问题. 1．在理解正态分布概念过程中，增强数学抽象的学科素养． 2．利用求解正态分布问题过程中，提升逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养. 一、正态曲线 1．正态曲线的概念 函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数的图象称为正态曲线. e－ 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 拓展： (1)曲线在x＝μ处达到峰值； (2)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移， (4)当μ取定值时，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散. 二、正态分布 1．正态分布的概念 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作 X～N(μ，σ2)， 此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． 特别地，当μ＝0，且σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. 2.3σ原则 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. 最后的式子意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)正态变量函数表述式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) (4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．若f(x)＝，x∈R，则f(x)(　　) e－ A．有最大值，也有最小值　　 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值　　 D．有最小值，但无最大值 B　[当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝.无最小值．]＝ 3．(多选题)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中正确的是(　　) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 ABD　[正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误，其他正确．] 4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　) A．　　　 　　　 B． C．　　　 D． D　[由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝.] 5．若ξ～N，η＝6ξ，则E(η)等于____________ . 6　[∵ξ～N，∴E(ξ)＝1，∴E(η)＝6E(ξ)＝6．] 探究一　正态曲线的图象及其应用 (1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　))(σ1>0)和N(μ2，σ A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 A　[根据正态曲线的特征：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由图可得，选A.] (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 解　从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为2＝2．，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝