4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

P E(Y)＝3 500×＝8 700； ＋10 000× ②安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－3 000＝2 000， 因此P(Y＝2 000)＝P(40＜X＜80)＝p1＝， 当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－1 500＝8 500， 因此，P(Y＝8 500)＝P(80≤X≤120)＝. ，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝ Y 2 000 8 500 15 000 P E(Y)＝2 000×＝8 500． ＋15 000×＋8 500× ∵8 700＞8 500，故应安装2台发电机． 第2课时　离散型随机变量的方差 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．掌握方差的性质以及两点分布方差的求法，会利用公式求它们的方差. 1．在学习离散型随机变量方差过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解离散型随机变量方差的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养. 一、离散型随机变量的方差、标准差 1．定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn D(X)＝为随机变量X的标准差． xi－E(X)]2pi刻画了X相对于均值E(X)的离散程度(或波动大小)，称D(X)为离散型随机变量X的方差，离散型随机变量X的方差D(X)也可以用DX表示，其算术平方根 2．意义：随机变量的方差和标准差都刻画了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小. 3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p). 二、离散型随机变量的方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X). 2．D(X)＝E(X2)－(E(X))2． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数，则D(a)＝0．(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．下面说法中正确的是(　　) A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平 D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平 D　[由方差的意义知D正确．] 3．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差为____________． .]＝＝　[X的标准差 4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机____________的质量较好． 乙　[因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．] 探究一　求离散型随机变量的方差、标准差 [知能解读]　对方差、标准差概念的几点说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)． 解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(ξ＝0)＝； ＝ ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了． 则P(ξ＝1)＝； ＝ ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝. ＝ 所以，ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0××(3－1)2＝1． ×(1－1)2＋×(0－1)2＋＝1；D(ξ)＝＋3×＋1× [方法总结]　求离散型随机变量X的方差的一般步骤 [训练1]　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第