3.3 第3课时 杨辉三角（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

抛物线方程为y2＝2x，过抛物线的焦点， ，则直线方程为y＝x－且倾斜角为 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立：， ＝0，即x1＋x2＝3，x1x2＝，可得x2－3x＋ 故得|AB|＝＝4．· 第3课时　杨辉三角 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并理解杨辉三角的性质． 2．体会杨辉三角的应用. 通过杨辉三角性质及应用的学习，进一步提升直观想象、数据分析、逻辑推理与数学运算的核心素养. 杨辉三角的特点 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1，与这两个1等距离的项的系数相等. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和，即C. ＋C＝C 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)杨辉三角的同一行中与两个1等距离的项的系数相等，说明二项式系数具有对称性，即C.(　　) ＝C (2)杨辉三角的相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C.(　　) ＋C＝C 答案　(1)√　(2)√ 2．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) A．20　　　 B．21　　　 C．22　　　 D．23 C　[由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为(11＋5)即16，所以b＝6＋16＝22．] 探究一　杨辉三角的简单应用 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　) A．第6行　　　 B．第7行 C．第8行　　 D．第9行 B　[由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．] (2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于(　　) A．144　　 B．146 C．164　　 D．461 C　[由题干图知，数列中的首项是C. ，第16项是C，…，第15项是C，第4项是C，第3项是C，第2项是C 所以S(16)＝C＋C＋…＋C＋C＋C＋C ＝(C) ＋…＋C＋C)＋(C＋…＋C＋C ＝(C) ＋…＋C＋C)＋(C－C＋…＋C＋C＋C ＝C－1＝164．]＋C [变式]　将本例(2)改为求S(19)． 解　由图知，数列中的首项是C. ，第19项是C，第18项是C，…，第17项是C，第4项是C，第3项是C，第2项是C S19＝(C＋220＝274．＝)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＋C＋…＋C＋C)＋(C＋…＋C＋C＋C＝(C)＋C＋C)＋…＋(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C [方法总结]　“杨辉三角”问题解决的一般方法 观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律， 取决于我们的观察能力，观察能力有横看、竖看、斜看、连续看、隔行看， 从多角度观察．如表所示： 探究二　杨辉三角在数列中的应用 设{an}是集合{2s|s∈N}中的所有的数从小到大排列成的数列，将数列{an}的各项按照上小下大，左小右大的原则排成类似“杨辉三角”的图形． (1)按图中箭头方向数字1,2,8,64，…组成一个数列{bn}，求数列{bn}的通项公式； (2)问22011是第几行，第几个数？ [分析]　对(1)，依据相邻两项的幂指数之差成等差数列，故可运用累加法求解； 对(2)，首先找出第n行左起的第m个数的表达式，然后进行数据分析即可求解． 解　(1)观察每一行的第一个数，不难发现；第n行左起的第一个数为21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2 (n∈N*)． ，即bn＝2 (2)易知第n行左起的第m个数为：2＋m－1． 令2＝21 953， ≤22 011⇒n≤63，且b63＝2 又22 011＝21 953＋(59－1)． 故22 011是第63行，第59个数． [方法总结]　将一等差(等比)数列重新排列成类似“杨辉三角”的图形，考查相关数列问题是杨辉三角型数列创新题的常见形式之一，这类问题主要考查重排后指定某数位置的确定或者特定行的通项公式的求法．求解关键是如何探求数列的排列规律． [训练]　如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n，中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和，an,1，an,2，…，an，n(n＝1,2,3，…)分别表示第n行的第一个数，第二个数，…，第n个数． 求an,2(n≥2且n∈N*)的通项式． 解　(1)由图易知a2,2＝2，a3,2＝4，a4,2＝7，a5,2＝11，……，从而有 a3,2－a2,2＝2， a4,2－a3,2＝3， a5,2－a4,2＝4，