3.3 第2课时 二项式系数的性质（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

16．已知()n(其中n<15，n∈N*)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列． ＋ (1)求n的值； (2)写出它展开式中的所有有理项． 解　(1)(， ＝2C＋C.依题意得C，C，C)n(其中n<15，n∈N*)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C＋ 即， ＝2·＋ 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23， 因为n<15，n∈N*，所以n＝14． (2)展开式的通项Tr＋1＝C， ·x＝C·xx 展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14， 所以展开式中的有理项共3项是：r＝0，T1＝Cx5＝91x5．x6＝3 003x6；r＝12，T13＝Cx7＝x7；r＝6，T7＝C 第2课时　二项式系数的性质 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握二项式系数的性质及其应用． 2．掌握“赋值法”并会灵活运用. 在运用二项式系数性质及赋值法求解问题的过程中，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C. ＝C，…，C＝C，C＝C (2)增减性与最大值：当k<随k的增加而减小； 时，C随k的增加而增大；当k>时，C 当n是偶数时，中间的一项的二项式系数C,n)相等，且同时取得最大值． ,n) 与C,n)取得最大值；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数C (3)二项式系数的和 ①C＝2n； ＋…＋C＋C＋C ②C＋…＝2n－1. ＋C＋C＋…＝C＋C＋C 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为C.(　　) ＋…＋C＋C (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　) A．11　　　　 B．10 C．9　　 D．8 D　[因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8．] 3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第____________项． n＋1　[(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．] 4．(多空题)若n展开式的各项系数之和为32，则n＝____________，其展开式中的常数项为____________．(用数字作答) 5　10　[令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2．故常数项为T3＝10．]r＝C·(x2)5－r· 探究一　求展开式系数的和 设(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 015·x2 015(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 015的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 015的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|的值． 解　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 015＝(－1)2 015＝－1．① (2)令x＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a2 015＝32 015．② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 015)＝－1－32 015， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝. (3)∵Tr＋1＝C·(2x)r， (－2x)r＝(－1)r·C ∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 015|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 015＝32 015． [变式]　已知条件不变，试求a1＋2a2＋3a3＋…＋2 015a2 015的值． 解　∵(1－2x)2 015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 015x2 015， ∴两边求导得2 015(1－2x)2 014·(－2)＝0＋a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 015a2 015x2 014， 令x＝1得，－4 030＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 015a2 015， ∴a1＋2a2＋3a3＋…＋2 015a2 015＝－4 030． [方法总结]　“赋值法”的应用 “赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． [训练1]　已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋a3＋…＋a7为多少？ 解　∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a