3.3 第1课时 二项式定理及应用（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1．在学习二项式定理过程中提升数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．在运用二项式定理解决相关问题的过程增强逻辑推理、数学运算的核心素养. 二项式定理及相关的概念 概念 公式(a＋b)n＝Cbn(n∈N*)称为二项式定理an－kbk＋…＋Can－2b2＋…＋Can－1b＋Can＋C 二项式 系数 各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式 通项 Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)an－kbk是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝C 二项展 开式 Cbn(n∈N*)an－kbk＋…＋Can－2b2＋…＋Can－1b＋Can＋C 备注 在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝Cxn(n∈N*)xk＋…＋Cx2＋…＋Cx＋C＋C 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　) A．－27C　　 　　 B．27C C．－9C　　 D．9C D　[含x6的项是T5＝Cx6．])4＝9Cx6(－ 3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(　　) A．－210　　 B．210 C．－120i　　 D．－210i A　[由通项公式得T7＝C＝－210．](－i)6＝－C 4．若在n的展开式中，第4项是常数项，则n＝____________. 18　[T4＝T3＋1＝C＝0，得n＝18．].由题意知x3＝－C)n－3( 探究一　二项式定理的正用、逆用 [知能解读]　二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. (1)用二项式定理展开5； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解　(1)方法一：. －＋－5＝32x5－120x2＋4＋C(2x)3＋C(2x)22＋C(2x)3＋C(2x)4(2x)5＋C5＝C 方法二：. －＋－(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2＋(－3)5]＝(4x3)(－3)4＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)5＋C[C＝5＝ (2)原式＝C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．(x－1)＋C(x－1)2＋C(x－1)3＋C(x－1)4＋C(x－1)5＋C [方法总结]　应用二项式定理解题的技巧 (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． (2)对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． (3)对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数． [训练1]　化简： (1)(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1； (2)1＋2C. ＋…＋2nC＋4C 解　(1)原式＝(x－1＋1)4＝x4． (2)原式＝1＋2C＝(1＋2)n＝3n.＋…＋2nC＋22C 探究二　求二项式的特定项 [知能解读]　对通项公式的两点说明 (1)通项公式Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，这里r＝0,1，…，n. (2)二项式(a＋b)n的第r＋1项Cbn－rar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的． an－rbr和(b＋a)n的展开式的第r＋1项C 已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解　通项公式为：Tr＋1＝C (－3)rx－x ＝C. (－3)rx (1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10． (2)令(10－6)＝2， ＝2，得r＝ ∴含x2的项的系数为C(－3)2＝405． (3)由题意得＝k(k∈Z)， 令 则10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈N，∴k应为偶数．k＝2,