3.1.2 第2课时 排列数的应用（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A＝37 440种．A－A种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有AA 16．为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 解　由题意知，相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3的形式． 不妨设红的3个，七个位置分别用1,2,3,4,5,6,7表示，那么红的可以排135,136,137,146,147,157,246,247,257,357，共10种，其中135,136,146,247,257,357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色，那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下两个不相邻的空里，各4种.147留4个空，两个两个相邻，共4种放法． 137,157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法． 246，四个空都分开，有6种放法． 所以共有6×4＋1×4＋2×2＋1×6＝38种， 当黄或蓝有3个时，总数一样，故一共有3×38＝114种不同的放法． 第2课时　排列数的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．会用排列数公式进行求值和证明． 2．掌握一些排列问题的常用解决方法，能应用排列知识解决简单的实际问题. 在学习排列数、排列数公式及应用的过程中，强化数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养. 排列与排列数 排列 排列数 定义 定义 公式 性质 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数公式A＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！(n、m∈N*且m≤n)；A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 0！＝1 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若A，(x∈N)，则x＝8．(　　) <6A (2)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有A＝72种．(　　) A－A (3)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A＝168(个)．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．方程3A的解是(　　) ＋6A＝2A A．n＝3　　 B．n＝4　　 C．n＝5　　 D．n＝6 D　[3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)， 化简得3n2－17n＋10＝0，解得n＝5.] 3．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　) A．8　　 B．24　　 C．48　　 D．120 C　[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A＝48个．]种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A 4．已知A，则n的值为____________． ＝7A 7　[由排列数公式，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N*，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝(舍)．] 5．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有____________种． 72　[恰有两个空座位相邻，相当于两个空座位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有A＝72种坐法．]A 探究一　与排列数有关的方程、不等式问题 (1)已知A＝30，则x＝____________. (2)满足方程A的x的集合为____________． ＝140A [分析]　利用公式展开，化为一元二次方程求解，并注意x的取值范围． 6　{3}　[(1)因为A的意义知x∈N*且x≥2，所以x＝6． ＝x(x－1)＝30，解得x＝6或x＝－5，由A (2)由题意可知得x≥3且x∈N*， 所以A，可化为(2x＋1)(2x)(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)， ＝140A 化简得4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝(舍去)， 所以原方程的解集为{3}．] [变式1]　将本例(1)中的式子改为“已知A， 则logn25的值为_________”．＝2A 2　[由题意可知∴n≥3且n∈N*. 因为A， ＝2A 所以2n·(2n－1)·(2n－2)＝2(n＋1)·n·(n－1)·(n－2)， 化简得n2－5n＝0， 解得n＝5或n＝0(舍)，所以logn25＝2．] [变式2]　若把本例(2)的方程改为不等式“A”，求它的解集． ＜140A 解　由A知x≥3且x∈N*