浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学（2-10班）试题

北仑中学2020学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 2．已知向量满足,则＝（　　） A．（4，4） B．（2，4） C．（2，2） D．（3，2） 3．已知单位向量满足则＝（　　） A． B．﹣2 C． D．2 4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体 中的AB与CD的位置关系为（　　） A．平行 B．相交成60°角 C．异面成60°角 D．异面且垂直 5．如图所示，在△ABC中，D、E分别为线段BC、AC上的两点，且|BD|＝|DC|，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知A，B是以点O为圆心半径为1的圆上的两个动点，且|AB|＝，M为线段AB的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（　　） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．下列关于向量的运算，一定成立的有（　　） A． B． C． D．若，，则 10．已知向量，则（　　） A． B． C． D．与的夹角为 11．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是（　　） A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．两条平行线段在直观图中仍是平行线段 12．如图，棱长为a的正四面体形状的木块，点P是△ACD的中心．劳动课上需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD， 则下列关于截面的说法中正确的是（　　） A．截面不是平行四边形 B．截面是矩形 C．截面的面积为 D．截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD 三、填空题（共4小题，每小题5，共20分） 13．已知向量＝（1，2），＝（﹣1，λ），若∥，则实数λ＝　 　． 14．一个正四棱柱的顶点都在一个球面上，且侧棱长是底面边长的2倍，则这个球与四棱柱的表面积的比值为 15．将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥底面半径为　 　，圆锥的体积为　 　． 16．定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下，对任意的＝（m，n），＝（p，q）， 令⊗＝mq﹣np，给出下面五个判断： ①若与共线，则； ②若与垂直，则； ③； ④对任意的λ∈R，有； ⑤ 其中正确的有　 　（请把正确的序号都写出）． 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）已知＝（1，2），＝（﹣3，2）． （1）求证：不共线； （2）若3+4＝（m﹣1）（2﹣n）． ①求实数m，n的值； ②若，求证：对于任意的实数，为定值，并求出这个定值． 18．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AB=2，AA1=3． （1）求三棱锥C1 -ABC的体积； （2）求证：A1B∥平面ADC1； （3）求异面直线A1B 、C1D所成的角的正弦值． 19．（12分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F、H为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面． （1）求证：CE∥平面BDH； （2）在棱BC上是否存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 20．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，角是直角，，AB＝AD＝2，点E为AB的中点，． （1）当时，用表示； （2）求的最小值，及此时实数λ的值．