第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第16讲 复数的几何意义和实系数一元二次方程（练习） 夯实基础 一、单选题 1．（2021·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知复数，i为虚数单位，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得. 【详解】， . 故选：B 2．（2021·湖南长沙市·长沙一中高一月考）欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由欧拉公式得，结合诱导公式、三角函数值或直接根据辐角所在的象限，即可判断其所在象限. 【详解】由题意知：， ∴在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 故选：B. 3．（2020·全国高一）在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解. 【详解】因为，所以， 所以复数所对应的点的坐标为. 故选:D. 4．（2021·江苏高一单元测试）设复数z满足|z﹣1|=1，则z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A．(x+1)2+y2=1 B．(x﹣1)2+y2=1 C．x2+(y﹣1)2=1 D．x2+(y+1)2=1 【答案】B 【分析】设z=x+yi(x，y∈R)，代入|z﹣1|=1，由复数模的计算公式求解. 【详解】解：设z=x+yi(x，y∈R)， 由|z﹣1|=1，得|(x﹣1)+yi|=1. ∴ (x﹣1)2+y2=1. 故选：B. 5．（2021·全国高一课时练习）复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先根据题意写出点，再计算三边边长，判断，即得结果. 【详解】依题意，复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则， 故|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝5， ∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即，是直角三角形. 故选：A． 6．（2021·全国高一课时练习）设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=　(　　) A． B．5 C． D．5 【答案】D 【详解】 由题意得，所以，故选D． 7．（2021·全国高一课时练习）已知复数满足 ，则 A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 试题分析：由得，，．故选C． 考点：复数的运算． 二、填空题 8．（2021·江苏苏州市·星海实验中学高一月考）已知(i为虚数单位)，则___________. 【答案】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 9．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考）若复数，的共轭复数对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据条件先分析的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于的不等式组，由此求解出结果. 【详解】因为对应的点在第一象限，所以的对应点在第四象限， 所以，解得，即， 故答案为：. 10．（2021·全国高一课时练习）以下四个命题： ①满足的复数只有±1，±i； ②若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数； ③|z＋|＝2|z|； ④复数z∈R的充要条件是z＝，其中正确的有_____. 【答案】④ 【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的概念、复数的模逐一判断即可. 【详解】①令z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 若＝，则有a－bi＝，即a2＋b2＝1＝|z|2，错误； ②(a－b)＋(a＋b)i＝2ai，若a＝b＝0，(a－b)＋(a＋b)i＝0，不是纯虚数，错误； ③若z＝i，|i－i|≠2|i|，错误； ④z＝，则其虚部为0，正确， 综上所述，正确的命题为④. 故答案为：④ 11．（2021·全国高一课时练习）设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝______. 【答案】 【分析】利用复数的乘、除运算以及复数的几何意义可得z2＝＝2－i，再根据复数模的计算公式即可求解. 【详解】∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i， ∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数， ∴z2＝＝2－i，∴|z2|＝. 故答案为： 12．（2021·全国高一课时练习）已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2