2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题06 正余弦定理二（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题06正余弦定理二（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、最值或取值范围类问题；二、解三角形在几何图形中的运用；三、解三角形在实际问题中的应用． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：最值或取值范围类问题】 例1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且，，可得：，即：， ，可得：， 为三角形内角，，可得：，，由正弦定理可得： ，可得：当时，的最小值为． 例2．锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为 A．(，) B．(0，2) C．(，2) D．(0，) 【答案】C 【解析】，， ，， 由正弦定理知，，，即， 由余弦定理知，，整理得， ，，，． 锐角，、，，解得，， ，， ． 例3．在锐角三角形ABC中，已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：，由正弦定理得，结合余弦定理 ，可得，再由正弦定理得，则，即． ． ． 当且仅当时取等号．的最小值为． 例4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S是△ABC的面积，若 ﹣，则角A的值为 ． 【答案】 【解析】中，是的面积，且， 由余弦定理得， 所以，整理为： 由于，所以，则， 由于，故，进一步解得． 例5．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B＝2cos(﹣A)cos(＋A)． （1）求角B的值； （2）若b＝且b≤a，求a﹣c的取值范围． 【解析】解：（1）在中， ． 又因为， ，，， 或． （2），， 由正弦，得，， 故， 因为，所以，， 所以，． 变式训练： 1．已知平面向量，满足，且与的夹角为120°，则的模的取值范围为 ． 【答案】， 【解析】解：设，，则由，又与的夹角为 ，又由，由正弦定理得：， ，． 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，且∠C为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】(2，) 【解析】由余弦定理可得，，， ，，， ，由正弦定理可得， ，，，，可得． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则C＝ ． 【答案】 【解析】根据①，余弦定理②， 由①②可得：， 化简：， ，，，此时， 故得，即，． 4．在△ABC中，设a，b，c分別是角A，B，C的对边，已知向量＝(a，sinC﹣sinB)，＝(b＋c，sinA＋sinB)，且//． （1）求角C的大小； （2）若c＝3，求△ABC周长的取值范围． 【解析】解：（1）由向量，，且， 得：，由正弦定理，得：， 化为：，由余弦定理，得：，所以，， （2）因为，所以，，由，得：， 由正弦定理，得：， 的周长为：， ，由，得：，， 所以，周长，． 【考点二：解三角形在几何图形中的应用】 例1．在△ABC中，已知AC＝1，∠A的平分线交BC于D，且AD＝1，BD＝，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【解析】设，则可得， 根据，得， 化简得， 又， 可得：，可得， 可得：，可得：， 可得：，， 所以：．嘉禾教育教研中心高雪伟老师编写 例2．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，在中，由余弦定理得：， 同理，在中，由余弦定理得：， ，①， 又平面四边形面积为， ，② 1 ②得：， ， 当时，取最大值． 例3．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝，BD＝，△BCD的面积S＝． （1）求CD； （2）求∠ABC． 【解析】解：（1）在中，． 因为，所以． 因为为锐角，所以． 在中，由余弦定理得 所以的长为3． （2）在中，由正弦定理得 即，解得， 因为，所以也为锐角．所以． 在中，由正弦定理得 即① 在中，由正弦定理得 即② 因为平分，所以 由①②得，解得 因为为锐角，所以． 例4．如图，在中，，，．是内一点，且． （1）若，求线段的长度； （2）若，求的面积． 【解析】解：（1）因为，所以在中，，，， 所以，在中，，，， 所以，所以； （2）设，则，在中，，，， 所以，在中，，，，， 由正弦定理得：， 又 ． 变式训练： 1．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，AD＝CD，∠ADC＝120°，则四边形ABCD面积的最大值为